Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2. Если область D разбита некоторой кусочно-гладкой кривой на
две части D
1
и D
2
, то из интегрируемости функции f(x, y) в области
D следует ее интегрируемость в областях D
1
и D
2
, причем интеграл по
всей области равен сумме интегралов по ее частям:
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
1
f(x, y) dx dy +
ZZ
D
2
f(x, y) dx dy .
Эту формулу можно обобщить на произвольное конечное разбиение об-
ласти D на ее составные части D
i
, i = 1, ..., n :
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
n
X
i=1
ZZ
D
i
f(x, y) dx dy .
3. Постоянный множитель c = const может быть вынесен за знак
интеграла:
ZZ
D
c · f(x, y) dx dy = c
ZZ
D
f(x, y) dx dy .
4. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y) , то в
этой области интегрируема функция f(x, y ) + g(x, y) , причем:
ZZ
D
(f(x, y) + g(x, y)) dx dy =
ZZ
D
f(x, y) dx dy +
ZZ
D
g(x, y) dx dy .
Эту формулу можно легко обобщить на произвольное число слагаемых:
ZZ
D
n
X
i=1
f
i
(x, y) dx dy =
n
X
i=1
ZZ
D
f
i
(x, y) dx dy .
5. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y)
неравенство f(x, y) 6 g(x, y) выполняется в каждой точке этой области,
то
ZZ
D
f(x, y) dx dy 6
ZZ
D
g(x, y) dx dy .
8
   2. Если область D разбита некоторой кусочно-гладкой кривой на
две части D1 и D2 , то из интегрируемости функции f(x, y) в области
D следует ее интегрируемость в областях D1 и D2 , причем интеграл по
всей области равен сумме интегралов по ее частям:
         ZZ                 ZZ                 ZZ
            f(x, y) dx dy =    f(x, y) dx dy +    f(x, y) dx dy .
          D                     D1                        D2
Эту формулу можно обобщить на произвольное конечное разбиение об-
ласти D на ее составные части Di , i = 1, ..., n :
                ZZ                 n ZZ
                                   X
                   f(x, y) dx dy =      f(x, y) dx dy .
                                          i=1
                   D                            Di
   3. Постоянный множитель c = const может быть вынесен за знак
интеграла:         ZZ                             ZZ
                        c · f(x, y) dx dy = c          f(x, y) dx dy .
                D                  D
   4. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y) , то в
этой области интегрируема функция f(x, y) + g(x, y) , причем:
    ZZ                             ZZ                 ZZ
       (f(x, y) + g(x, y)) dx dy =    f(x, y) dx dy +    g(x, y) dx dy .
    D                                 D                          D
Эту формулу можно легко обобщить на произвольное число слагаемых:
            ZZ X
               n                   n ZZ
                                   X
                 fi (x, y) dx dy =      fi (x, y) dx dy .
                    i=1                       i=1
               D                                    D
   5. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y)
неравенство f(x, y) 6 g(x, y) выполняется в каждой точке этой области,
то                ZZ                 ZZ
                     f(x, y) dx dy 6    g(x, y) dx dy .
                        D                     D
                                          8

Страницы