Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то функция
|f(x, y)| также интегрируема в этой области и справедливо неравенство:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ZZ
D
f(x, y) dx dy
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6
ZZ
D
|f(x, y)| dx dy .
7. Теорема о среднем значении интеграла. Если функция f(x, y) ин-
тегрируема в области D и удовлетворяет в этой области неравенствам
m 6 f(x, y) 6 M ,
где m и M некоторые константы, то
m · S 6
ZZ
D
f(x, y) dx dy 6 M · S ,
где
S =
ZZ
D
dx dy
площадь области D. При этом в области D существует такая точка с
координатами (x
0
, y
0
) , что справедлива следующая формула:
ZZ
D
f(x, y) dx dy = f(x
0
, y
0
) · S .
8. Обобщенная теорема о среднем значении интеграла. Если функции
f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) сохраняет
знак в области D и в этой области справедливы неравенства
m 6 f(x, y) · g(x, y) 6 M ,
то
m · S 6
ZZ
D
f(x, y) · g(x, y) dx dy 6 M · S .
9
      6. Если функция f(x, y) интегрируема в области D , то функция
|f(x, y)| также интегрируема в этой области и справедливо неравенство:
                  ¯              ¯
                  ¯ZZ            ¯ ZZ
                  ¯              ¯
                  ¯              ¯
                  ¯ f(x, y) dx dy¯ 6    |f(x, y)| dx dy .
                  ¯              ¯
                  ¯D             ¯ D

   7. Теорема о среднем значении интеграла. Если функция f(x, y) ин-
тегрируема в области D и удовлетворяет в этой области неравенствам

                              m 6 f(x, y) 6 M ,

где m и M некоторые константы, то
                       ZZ
                m·S6      f(x, y) dx dy 6 M · S ,
                               D
где                                     ZZ
                                   S=        dx dy
                              D
площадь области D . При этом в области D существует такая точка с
координатами (x0 , y0 ) , что справедлива следующая формула:
                     ZZ
                          f(x, y) dx dy = f(x0 , y0 ) · S .
                     D
    8. Обобщенная теорема о среднем значении интеграла. Если функции
f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D , функция g(x, y) сохраняет
знак в области D и в этой области справедливы неравенства

                         m 6 f(x, y) · g(x, y) 6 M ,

то                       ZZ
                m·S6          f(x, y) · g(x, y) dx dy 6 M · S .
                         D


                                         9

Страницы