Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

При этом в области D существует такая точка с координатами (x
0
, y
0
) ,
что справедлива следующая формула:
ZZ
D
f(x, y) · g(x, y) dx dy = f(x
0
, y
0
)
ZZ
D
g(x, y) dx dy .
1.3. Сведение двойного интеграла к повторному
для прямоугольной области
Пусть P = {(x, y) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} — прямоугольная область
на плоскости xy .
Теорема 1. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольной
области P , и ∀x ∈ [a, b] существует определенный интеграл Римана
I(x) =
d
Z
c
f(x, y) dy ,
то существует также повторный интеграл
b
Z
a
dx
d
Z
c
f(x, y) dy
def
=
b
Z
a
I(x) dx ,
причем выполняется равенство
ZZ
P
f(x, y) dx dy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f(x, y) dy .
Доказательство. Разобьем прямоугольную область P сетью прямых,
параллельных координатным осям. Тогда область P разложится на эле-
ментарные прямоугольные области
P
ik
= {(x, y) | x
i
6 x 6 x
i+1
, y
k
6 y 6 y
k+1
} .
Введем числа
m
ik
= inf
(x,y)∈P
ik
f(x, y) , M
ik
= sup
(x,y)∈P
ik
f(x, y) .
10
При этом в области D существует такая точка с координатами (x0 , y0 ) ,
что справедлива следующая формула:
          ZZ                                      ZZ
             f(x, y) · g(x, y) dx dy = f(x0 , y0 ) g(x, y) dx dy .
          D                                                          D

        1.3. Сведение двойного интеграла к повторному
                  для прямоугольной области

   Пусть P = {(x, y) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} — прямоугольная область
на плоскости xy .
   Теорема 1. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольной
области P , и ∀x ∈ [a, b] существует определенный интеграл Римана
                                              Zd
                                    I(x) =         f(x, y) dy ,
                                              c

то существует также повторный интеграл
                          Zb        Zd                        Zb
                                                        def
                               dx f(x, y) dy =                     I(x) dx ,
                          a         c                         a
причем выполняется равенство
                    ZZ                              Zb        Zd
                         f(x, y) dx dy =                 dx f(x, y) dy .
                 P               a    c

   Доказательство. Разобьем прямоугольную область P сетью прямых,
параллельных координатным осям. Тогда область P разложится на эле-
ментарные прямоугольные области

               Pik = {(x, y) | xi 6 x 6 xi+1 , yk 6 y 6 yk+1 } .

Введем числа

               mik =          inf        f(x, y) , Mik =             sup f(x, y) .
                         (x,y)∈Pik                                 (x,y)∈Pik

                                                   10

Страницы