Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Если в формулировке и доказательстве этой теоремы
переменные x и y поменять ролями, то есть предположить существова-
ние интеграла
I(y) =
b
Z
a
f(x, y) dx ,
то мы сможем доказать следующую формулу
ZZ
P
f(x, y) dx dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f(x, y) dx .
Если вместе с двойным интегралом существуют оба интеграла
I(x) =
d
Z
c
f(x, y) dy , I(y) =
b
Z
a
f(x, y) dx ,
то справедливы обе доказанные формулы одновременно, откуда следует
формула
b
Z
a
dx
d
Z
c
f(x, y) dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f(x, y) dx ,
которая называется формулой перемены порядка интегрирования в по-
вторном интеграле.
Пример. Вычислить двойной интеграл
ZZ
P
(x + 2y) dx dy ,
где P = {(x, y) | 1 6 x 6 3 , −2 6 y 6 1} .
Решение.
ZZ
P
(x + 2y) dx dy =
3
Z
1
dx
1
Z
−2
(x + 2y) dy =
12
   Замечание. Если в формулировке и доказательстве этой теоремы
переменные x и y поменять ролями, то есть предположить существова-
ние интеграла
                              Zb
                       I(y) = f(x, y) dx ,
                                          a
то мы сможем доказать следующую формулу
                     ZZ                            Zd      Zb
                          f(x, y) dx dy =               dy f(x, y) dx .
                     P                             c       a

Если вместе с двойным интегралом существуют оба интеграла
                            Zd                                     Zb
                 I(x) =          f(x, y) dy , I(y) =                    f(x, y) dx ,
                            c                                      a

то справедливы обе доказанные формулы одновременно, откуда следует
формула
                 Zb Zd            Zd Zb
                   dx f(x, y) dy = dy f(x, y) dx ,
                     a     c                       c           a
которая называется формулой перемены порядка интегрирования в по-
вторном интеграле.
   Пример. Вычислить двойной интеграл
                      ZZ
                         (x + 2y) dx dy ,
                                   P
где P = {(x, y) | 1 6 x 6 3 , −2 6 y 6 1} .
    Решение.
                ZZ                            Z3          Z1
                     (x + 2y) dx dy =              dx          (x + 2y) dy =
                P                             1          −2




                                              12

Страницы