Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
3
Z
1
(xy + y
2
)
¯
¯
¯
¯
1
−2
dx =
3
Z
1
(3x − 3) dx = 6 .
1.4. Сведение двойного интеграла к повторному
для произвольной области
Рассмотрим область D, ограниченную сверху и снизу двумя кривы-
ми, являющимися графиками непрерывных функций
y = y
1
(x) , y = y
2
(x) ,
а с боков двумя прямыми x = a , x = b .
Теорема 1. Если функция f(x, y) интегрируема в области
D = {(x, y) | a 6 x 6 b , y
1
(x) 6 y 6 y
2
(x)} ,
где y = y
1
(x) и y = y
2
(x) — определенные на сегменте [a, b] непре-
рывные функции, и ∀x ∈ [a, b] существует интеграл Римана
I(x) =
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy ,
то существует также повторный интеграл
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy
def
=
b
Z
a
I(x) dx ,
причем справедлива формула
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy ,
которая называется формулой сведения двойного интеграла к повтор-
ному.
13
                   Z3              ¯1    Z3
                                   ¯
               =        (xy + y2 )¯¯ dx = (3x − 3) dx = 6 .
                                            −2
                   1                                      1



        1.4. Сведение двойного интеграла к повторному
                   для произвольной области

   Рассмотрим область D , ограниченную сверху и снизу двумя кривы-
ми, являющимися графиками непрерывных функций

                                  y = y1 (x) , y = y2 (x) ,

а с боков двумя прямыми x = a , x = b .
    Теорема 1. Если функция f(x, y) интегрируема в области

             D = {(x, y) | a 6 x 6 b , y1 (x) 6 y 6 y2 (x)} ,

где y = y1 (x) и y = y2 (x) — определенные на сегменте [a, b] непре-
рывные функции, и ∀x ∈ [a, b] существует интеграл Римана
                                              y2Z(x)

                                  I(x) =               f(x, y) dy ,
                                             y1 (x)

то существует также повторный интеграл
                        Zb        y2Z(x)                         Zb
                                                          def
                             dx            f(x, y) dy =               I(x) dx ,
                        a         y1 (x)                         a

причем справедлива формула
                ZZ                                 Zb         y2Z(x)

                        f(x, y) dx dy = dx                             f(x, y) dy ,
                D                                  a          y1 (x)

которая называется формулой сведения двойного интеграла к повтор-
ному.

                                                  13

Страницы