Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
Z
0
(xy + y
2
)
¯
¯
¯
¯
√
x
x
2
dx =
1
Z
0
(x
√
x + x − x
3
− x
4
) dx =
9
20
.
Замечание. Если в формулировке и доказательстве этой теоремы пере-
менные x и y поменять ролями, то есть рассмотреть область
D = {(x, y) | x
1
(y) 6 x 6 x
2
(y) , c 6 y 6 d} ,
где x = x
1
(y) , x = x
2
(y) непрерывные функции определенные на сег-
менте [c, d] и предположить существование интеграла
I(y) =
x
2
(y)
Z
x
1
(y)
f(x, y) dx ,
то мы сможем доказать следующую формулу
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
d
Z
c
dy
x
2
(y)
Z
x
1
(y)
f(x, y) dx .
Если вместе с двойным интегралом существуют оба интеграла
I(x) =
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy , I(y) =
x
2
(y)
Z
x
1
(y)
f(x, y) dx ,
то справедливы обе доказанные формулы одновременно, откуда следует
формула
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy =
d
Z
c
dy
x
2
(y)
Z
x
1
(y)
f(x, y) dx ,
которая называется формулой перемены порядка интегрирования в по-
вторном интеграле.
Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
1
Z
−1
dy
y
2
−1
Z
1−y
2
f(x, y) dx .
15
              Z1              ¯ √x  Z1
                              ¯        √                       9
          =        (xy + y2 )¯¯ dx = (x x + x − x3 − x4 ) dx =    .
                                x 2                            20
              0                                     0
Замечание. Если в формулировке и доказательстве этой теоремы пере-
менные x и y поменять ролями, то есть рассмотреть область

                   D = {(x, y) | x1 (y) 6 x 6 x2 (y) , c 6 y 6 d} ,

где x = x1 (y) , x = x2 (y) непрерывные функции определенные на сег-
менте [c, d] и предположить существование интеграла
                                                    x2Z(y)

                                        I(y) =               f(x, y) dx ,
                                                   x1 (y)

то мы сможем доказать следующую формулу
                         ZZ                                Zd         x2Z(y)

                              f(x, y) dx dy = dy                               f(x, y) dx .
                D               c   x1 (y)

Если вместе с двойным интегралом существуют оба интеграла
                               y2Z(x)                                        x2Z(y)

                   I(x) =               f(x, y) dy , I(y) =                           f(x, y) dx ,
                              y1 (x)                                        x1 (y)

то справедливы обе доказанные формулы одновременно, откуда следует
формула
                    Zb        y2Z(x)                            Zd        x2Z(y)

                         dx            f(x, y) dy =                  dy            f(x, y) dx ,
                    a         y1 (x)                            c         x1 (y)
которая называется формулой перемены порядка интегрирования в по-
вторном интеграле.
   Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
                                         Z1        y2Z−1

                                              dy           f(x, y) dx .
                                        −1         1−y2

                                                          15

Страницы