Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

для того, чтобы новые координаты по прежнему различали точки, то
есть каждые две разные точки должны иметь отличающиеся наборы
координат. Из теории функций многих переменных мы знаем, что та-
кая система двух функций двух переменных задает взаимно-однозначное
отображение F некоторой области D
0
на плоскости координат u и v на
область D на плоскости координат x и y , если якобиан этого отобра-
жения:
J =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
не равен нулю (J(u, v) 6= 0) в каждой точке области D
0
.
Отображение F можно также задать вектор-функцией
r = x(u, v) i + y(u, v) j .
При фиксированных значениях параметра v получаются уравнения ко-
ординатных линий, вдоль которых меняется переменная u , а при фикси-
рованных значениях параметра u получаются уравнения координатных
линий, вдоль которых меняется переменная v . Параметры u и v назы-
ваются криволинейными координатами в области D. Область D
0
вме-
сте с уравнениями перехода (то есть уравнениями, задающими взаимно-
однозначное дифференцируемое отображение F : D
0
→D) называется
координатной системой в области D.
Выражение dS = dx dy является элементом площади в прямоуголь-
ных координатах. Теперь нам необходимо вычислить, как выглядит эле-
мент площади в криволинейных координатах.
Рассмотрим элементарный прямоугольник в области D
0
с длинами
сторон ∆u и ∆v . При отображении F ему будет соответствовать «криво-
линейный четырехугольник» — малая область, ограниченная близкими
координатными кривыми криволинейной системы координат в области
D. Обозначим его площадь через ∆S , а вершины PQTR . Пусть вершина
P имеет криволинейные координаты (u
0
, v
0
) , тогда остальные вершины
17
для того, чтобы новые координаты по прежнему различали точки, то
есть каждые две разные точки должны иметь отличающиеся наборы
координат. Из теории функций многих переменных мы знаем, что та-
кая система двух функций двух переменных задает взаимно-однозначное
отображение F некоторой области D 0 на плоскости координат u и v на
область D на плоскости координат x и y , если якобиан этого отобра-
жения:                            ¯       ¯
                                  ¯ ∂x ∂x ¯
                                  ¯ ∂u ∂v ¯
                             J = ¯¯       ¯
                                          ¯
                                  ¯ ∂y ∂y ¯
                                    ∂u ∂v
не равен нулю (J(u, v) 6= 0) в каждой точке области D 0 .
    Отображение F можно также задать вектор-функцией

                       r = x(u, v) i + y(u, v) j .

При фиксированных значениях параметра v получаются уравнения ко-
ординатных линий, вдоль которых меняется переменная u , а при фикси-
рованных значениях параметра u получаются уравнения координатных
линий, вдоль которых меняется переменная v . Параметры u и v назы-
ваются криволинейными координатами в области D . Область D 0 вме-
сте с уравнениями перехода (то есть уравнениями, задающими взаимно-
однозначное дифференцируемое отображение F : D 0 → D ) называется
координатной системой в области D .
   Выражение dS = dx dy является элементом площади в прямоуголь-
ных координатах. Теперь нам необходимо вычислить, как выглядит эле-
мент площади в криволинейных координатах.
   Рассмотрим элементарный прямоугольник в области D 0 с длинами
сторон ∆u и ∆v . При отображении F ему будет соответствовать «криво-
линейный четырехугольник» — малая область, ограниченная близкими
координатными кривыми криволинейной системы координат в области
D . Обозначим его площадь через ∆S , а вершины PQTR . Пусть вершина
P имеет криволинейные координаты (u0 , v0 ) , тогда остальные вершины

                                   17

Страницы