Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

имеют координаты Q(u
0
+ ∆u, v
0
) , R(u
0
, v
0
+ ∆v) , T(u
0
+ ∆u, v
0
+ ∆v) .
Длины отрезков PQ и PR соответственно равны
|PQ| = |r(u
0
+ ∆u, v
0
) − r(u
0
, v
0
)| = |
∂r
∂u
(u
0
, v
0
) ∆u + o(∆u)| ,
|PR| = |r(u
0
, v
0
+ ∆v) − r(u
0
, v
0
)| = |
∂r
∂v
(u
0
, v
0
) ∆v + o(∆v)| .
Очевидно, что площадь ∆S криволинейного четырехугольника PQSR с
точностью до бесконечно малых высших порядков равна площади па-
раллелограмма, построенного на векторах
∂r
∂u
∆u и
∂r
∂v
∆v .
Из курса аналитической геометрии мы знаем, что площадь S па-
раллелограмма, построенного на векторах a(x
1
, y
1
, 0) и b(x
2
, y
2
, 0) , ле-
жащих в координатной плоскости xy трехмерного пространства, отне-
сенного к декартовым координатам x , y , z , выражается при помощи
векторного произведения формулой:
S = |[a, b]| = |
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
y
1
x
2
y
2
¯
¯
¯
¯
¯
| .
Применяя эту формулу для вычисления площади ∆S , получим:
∆S = |
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
¯
¯
¯
¯
¯
¯
| ∆u ∆v ,
то есть ∆S = |J(u, v)| ∆u ∆v .
Определение. Выражение dS = |J(u, v )| du dv называется элемен-
том площади в криволинейных координатах.
Рассмотрим двойной интеграл от функции z = f(x, y) по области
D. В декартовой системе координат по определению
ZZ
D
f(x, y) dS =
ZZ
D
f(x, y) dx dy
def
= lim
∆x
max
→0
∆y
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆x
i
∆y
i
,
где область D разложена на элементарные области сетью прямых па-
раллельных координатным осям декартовой системы координат.
18
имеют координаты Q(u0 + ∆u, v0 ) , R(u0 , v0 + ∆v) , T (u0 + ∆u, v0 + ∆v) .
Длины отрезков PQ и PR соответственно равны
                                               ∂r
      |PQ| = |r(u0 + ∆u, v0 ) − r(u0 , v0 )| = |  (u0 , v0 ) ∆u + o(∆u)| ,
                                               ∂u
                                               ∂r
     |PR| = |r(u0 , v0 + ∆v) − r(u0 , v0 )| = | (u0 , v0 ) ∆v + o(∆v)| .
                                               ∂v
Очевидно, что площадь ∆S криволинейного четырехугольника PQSR с
точностью до бесконечно малых высших порядков равна площади па-
раллелограмма, построенного на векторах ∂r ∆u и ∂r ∆v .
                                        ∂u      ∂v
   Из курса аналитической геометрии мы знаем, что площадь S па-
раллелограмма, построенного на векторах a(x1 , y1 , 0) и b(x2 , y2 , 0) , ле-
жащих в координатной плоскости xy трехмерного пространства, отне-
сенного к декартовым координатам x , y , z , выражается при помощи
векторного произведения формулой:
                                            ¯        ¯
                                            ¯x y ¯
                                            ¯ 1 1¯
                           S = |[a, b]| = | ¯        ¯| .
                                            ¯ x 2 y2 ¯

   Применяя эту формулу для вычисления площади ∆S , получим:
                           ¯       ¯
                           ¯ ∂x ∂x ¯
                           ¯ ∂u ∂v ¯
                   ∆S = | ¯¯       ¯ | ∆u ∆v ,
                                   ¯
                           ¯ ∂y ∂y ¯
                             ∂u ∂v
то есть ∆S = |J(u, v)| ∆u ∆v .
   Определение. Выражение dS = |J(u, v)| du dv называется элемен-
том площади в криволинейных координатах.
   Рассмотрим двойной интеграл от функции z = f(x, y) по области
D . В декартовой системе координат по определению
      ZZ              ZZ                     n
                                             X
                                       def
         f(x, y) dS =    f(x, y) dx dy = lim   f(xi , yi ) ∆xi ∆yi ,
                                              ∆xmax →0
                                              ∆ymax →0   i=1
     D                 D
где область D разложена на элементарные области сетью прямых па-
раллельных координатным осям декартовой системы координат.

                                        18

Страницы