Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Переходя к полярной системе координат, вычислить двой-
ной интеграл
ZZ
D
p
x
2
+ y
2
− 9 dx dy ,
где область D — кольцо между двумя окружностями x
2
+ y
2
= 9 и
x
2
+ y
2
= 25 .
Решение. Кольцо расположено между окружностями радиусов 3 и 5,
поэтому, переходя в интеграле к полярным координатам, будем иметь:
ZZ
D
p
x
2
+ y
2
− 9 dx dy =
2π
Z
0
dϕ
5
Z
3
p
r
2
− 9 r dr =
=
1
2
2π
Z
0
dϕ
5
Z
3
p
r
2
− 9 d(r
2
− 9) = π
2
3
(r
2
− 9)
3/2
¯
¯
¯
¯
5
3
=
128
3
π .
1.6. Приложения двойных интегралов
1. Вычисление площадей плоских фигур
S =
ZZ
D
dx dy .
2. Вычисление объемов цилиндрических тел
V =
ZZ
D
f(x, y) dx dy ,
где V — объем тела в трехмерном пространстве, заключенного между
поверхностью, являющейся графиком неотрицательной (или неположи-
тельной) функции z = f(x, y) , координатной плоскостью xy и цилин-
дром с образующими, проходящими через границу области D парал-
лельно оси z .
20
   Пример. Переходя к полярной системе координат, вычислить двой-
ной интеграл                     ZZ p
                                     x2 + y2 − 9 dx dy ,
                     D
где область D — кольцо между двумя окружностями x2 + y2 = 9 и
x2 + y2 = 25 .
    Решение. Кольцо расположено между окружностями радиусов 3 и 5,
поэтому, переходя в интеграле к полярным координатам, будем иметь:
              ZZ p                                  Z
                                                    2π        Z5 p
                     x2 + y2 − 9 dx dy =                 dϕ       r2 − 9 r dr =
              D                                     0         3

              Z
              2π        Z5 p                                     ¯5
          1                                        2             ¯   128
        =          dϕ          r2 − 9 d(r2 − 9) = π (r2 − 9)3/2 ¯¯ =     π.
          2                                        3               3  3
              0         3



                  1.6. Приложения двойных интегралов

   1. Вычисление площадей плоских фигур
                              ZZ
                          S=     dx dy .
                                           D
   2. Вычисление объемов цилиндрических тел
                           ZZ
                       V=     f(x, y) dx dy ,
                                       D
где V — объем тела в трехмерном пространстве, заключенного между
поверхностью, являющейся графиком неотрицательной (или неположи-
тельной) функции z = f(x, y) , координатной плоскостью xy и цилин-
дром с образующими, проходящими через границу области D парал-
лельно оси z .

                                               20

Страницы