Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 21 стр.

   3. Вычисление массы (заряда) плоской бесконечно тонкой пластины.
Пусть ρ = ρ(x, y) — плотность распределения массы (заряда) неодно-
родной (неравномерно заряженной) пластины D . Тогда масса ∆m (за-
ряд ∆q ) малой области пластины с площадью ∆S = ∆x ∆y , содержащей
точку (x, y) выражается равенством

                   ∆m (или ∆q) = ρ(x, y) ∆x ∆y .

Для нахождения массы (заряда) пластины необходимо просуммировать
элементарные массы (заряды) по всей пластине и устремить площади
всех элементарных областей к нулю. Отсюда видно, что масса (заряд)
пластины выражается двойным интегралом
                               ZZ
                   m (или q) =    ρ(x, y) dx dy .
                                D
   4. Вычисление центра масс плоской неоднородной пластины. Из кур-
са механики мы знаем, что радиус-вектор rc центра масс системы n
частиц с массами mi и положениями в пространстве, заданными радиус-
векторами ri , выражается по формуле
                                P
                                   m i ri
                                 i
                            rc = P        .
                                   mi
                                    i
Обобщая эту формулу на случай непрерывного распределения масс по
плоской области D с плотностью ρ = ρ(x, y) , получим формулу
                            RR
                                r ρ(x, y) dx dy
                       rc = DRR                 ,
                                 ρ(x, y) dx dy
                             D
то есть координаты центра масс плоской неоднородной пластины вычис-
ляются по формулам
                           RR
                                 x ρ(x, y) dx dy
                      xc = DRR                     ,
                                 ρ(x, y) dx dy
                            D
                                   21