Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1. Двойной интеграл
ZZ
D
f(x, y) dx dy ,
свести к повторному и определить его пределы интегрирования, если об-
ласть интегрирования D ограничена сверху и снизу ветвями гиперболы
y
2
− x
2
= 1 , а с боков двумя прямыми x = 2 и x = −2 .
2. Вычислить следующие повторные интегралы:
а)
2
Z
0
dy
1
Z
0
(x
2
+ 2y) dx , б)
1
Z
0
dx
1
Z
0
x
2
dy
1 + y
2
,
в)
2
Z
1
dx
x
Z
1
x
x
2
dy
y
2
, г)
2π
Z
0
dϕ
a
Z
a sin ϕ
r dr .
3. Переменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
а)
4
Z
0
dx
12x
Z
3x
2
f(x, y) dy , б)
1
Z
0
dx
3x
Z
2x
f(x, y) dy ,
в)
a
Z
0
dx
√
a
2
−x
2
Z
a
2
−x
2
2a
f(x, y) dy , г)
1
Z
0
dy
1−y
Z
−
√
1−y
2
f(x, y) dx ,
д)
1
Z
0
dy
√
3−y
2
Z
y
2
2
f(x, y) dx , е)
a
Z
a
2
dx
√
2ax−x
2
Z
0
f(x, y) dy .
4. Доказать свойства двойного интеграла, приведенные в параграфе
1.4, исходя непосредственно из его определения как предела суммы.
5. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл:
ZZ
D
p
a
2
− x
2
− y
2
dx dy ,
23
   1. Двойной интеграл
                                                ZZ
                                                     f(x, y) dx dy ,
                                                D
свести к повторному и определить его пределы интегрирования, если об-
ласть интегрирования D ограничена сверху и снизу ветвями гиперболы
y2 − x2 = 1 , а с боков двумя прямыми x = 2 и x = −2 .
   2. Вычислить следующие повторные интегралы:
                       Z2             Z1                                Z1           Z1
                                            2                         x2 dy
                  а) dy (x + 2y) dx ,                           б) dx        ,
                                                                      1 + y2
                       0              0                                 0            0

                  Z2             Zx                                     Z
                                                                        2π                Za
                       x2 dy
                 в) dx       ,                                  г)           dϕ                  r dr .
                        y2
                   1             1                                      0             a sin ϕ
                                 x
   3. Переменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
                   Z4             Z
                                 12x                               Z1        Z
                                                                             3x

                 а) dx                     f(x, y) dy ,       б) dx               f(x, y) dy ,
                   0             3x2                               0         2x
                   √
            Za          aZ
                         2 −x2
                                                               Z1                 Z
                                                                                 1−y

          в) dx                        f(x, y) dy ,        г) dy                               f(x, y) dx ,
            0                                                  0
                                                                                 √
                       a2 −x2                                                −       1−y2
                         2a
                       √                                                     √
                            3−y2
            Z1              Z                                  Za                  Z 2
                                                                                 2ax−x

          д) dy                           f(x, y) dx ,     е) dx                               f(x, y) dy .
            0               y2                                 a                  0
                            2                                  2

   4. Доказать свойства двойного интеграла, приведенные в параграфе
1.4, исходя непосредственно из его определения как предела суммы.
    5. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл:
                        ZZ p
                             a2 − x2 − y2 dx dy ,
                                       D
                                                         23

Страницы