Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
c
=
RR
D
y ρ(x, y) dx dy
RR
D
ρ(x, y) dx dy
.
5. Вычисление статических моментов и моментов инерции плоской
неоднородной пластины. Пусть ρ = ρ(x, y) — плотность распределения
массы неоднородной пластины D. Статические моменты малой области
пластины относительно координатных осей соответственно равны
∆M
x
= y ∆m = y ρ(x, y) ∆x ∆y ,
∆M
y
= x ∆m = x ρ(x, y) ∆x ∆y .
Для нахождения статических моментов пластины необходимо просумми-
ровать элементарные моменты по всей пластине и устремить площади
всех элементарных областей к нулю. Отсюда видно, что статические мо-
менты пластины относительно координатных осей выражаются по фор-
мулам
M
x
=
ZZ
D
y ρ(x, y) dx dy ,
M
y
=
ZZ
D
x ρ(x, y) dx dy .
Аналогично можно получить формулы для моментов инерции пла-
стины относительно координатных осей
J
x
=
ZZ
D
y
2
ρ(x, y) dx dy ,
J
y
=
ZZ
D
x
2
ρ(x, y) dx dy .
1.7. Упражнения
22
                              RR
                                    y ρ(x, y) dx dy
                       yc = DRR                       .
                                    ρ(x, y) dx dy
                           D
   5. Вычисление статических моментов и моментов инерции плоской
неоднородной пластины. Пусть ρ = ρ(x, y) — плотность распределения
массы неоднородной пластины D . Статические моменты малой области
пластины относительно координатных осей соответственно равны

                   ∆Mx = y ∆m = y ρ(x, y) ∆x ∆y ,

                   ∆My = x ∆m = x ρ(x, y) ∆x ∆y .
Для нахождения статических моментов пластины необходимо просумми-
ровать элементарные моменты по всей пластине и устремить площади
всех элементарных областей к нулю. Отсюда видно, что статические мо-
менты пластины относительно координатных осей выражаются по фор-
мулам                       ZZ
                       Mx =         y ρ(x, y) dx dy ,
                               D
                               ZZ
                       My =         x ρ(x, y) dx dy .
                         D
   Аналогично можно получить формулы для моментов инерции пла-
стины относительно координатных осей
                           ZZ
                      Jx =    y2 ρ(x, y) dx dy ,
                              D
                              ZZ
                       Jy =        x2 ρ(x, y) dx dy .
                              D


                          1.7. Упражнения


                                      22

Страницы