Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Определение тройного интеграла
Пусть ρ = f(x, y, z) — функция трех переменных, определенная в
некоторой области V трехмерного евклидова пространства E
3
. Таким
образом, каждой точке тела V сопоставлено некоторое число ρ . Ис-
пользуя физическую аналогию, мы можем считать тело V некоторым
материальным объектом с общей массой m и плотностью ρ . Плотность
тела меняется от точки к точке, то есть распределение материи в нем
неоднородно. Нашей задачей будет определить полную массу m тела V
при известном распределении плотности материи ρ = f(x, y, z) .
Разобьем весь объем тела V на большое число малых элементов V
i
с объемами ∆V
i
. Масса ∆m
i
каждого элемента приближенно равна:
∆m
i
≈ f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
,
где (x
i
, y
i
, z
i
) координаты произвольно выбранной точки внутри i -го
элемента объема. Тогда полная масса тела будет приближенно равна:
m =
n
X
i=1
∆m
i
≈
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
.
Точность этого приближенного соотношения повышается при уменьше-
нии объемов ∆V
i
элементарных областей V
i
. При этом увеличивается
число n элементарных областей. В пределе при беспредельном сужении
по всем направлениям каждой из элементарных областей V
i
и беспре-
дельном возрастании числа n элементарных областей равенство стано-
вится точным:
m = lim
∆V
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
,
где через ∆V
max
обозначен максимальный объем среди всех элементар-
ных объемов ∆V
i
.
25
                    2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


                2.1. Определение тройного интеграла

   Пусть ρ = f(x, y, z) — функция трех переменных, определенная в
некоторой области V трехмерного евклидова пространства E3 . Таким
образом, каждой точке тела V сопоставлено некоторое число ρ . Ис-
пользуя физическую аналогию, мы можем считать тело V некоторым
материальным объектом с общей массой m и плотностью ρ . Плотность
тела меняется от точки к точке, то есть распределение материи в нем
неоднородно. Нашей задачей будет определить полную массу m тела V
при известном распределении плотности материи ρ = f(x, y, z) .
    Разобьем весь объем тела V на большое число малых элементов Vi
с объемами ∆Vi . Масса ∆mi каждого элемента приближенно равна:

                        ∆mi ≈ f(xi , yi , zi ) ∆Vi ,

где (xi , yi , zi ) координаты произвольно выбранной точки внутри i -го
элемента объема. Тогда полная масса тела будет приближенно равна:
                        n
                        X             n
                                      X
                   m=         ∆mi ≈         f(xi , yi , zi ) ∆Vi .
                        i=1           i=1

Точность этого приближенного соотношения повышается при уменьше-
нии объемов ∆Vi элементарных областей Vi . При этом увеличивается
число n элементарных областей. В пределе при беспредельном сужении
по всем направлениям каждой из элементарных областей Vi и беспре-
дельном возрастании числа n элементарных областей равенство стано-
вится точным:                       n
                                    X
                    m=        lim         f(xi , yi , zi ) ∆Vi ,
                         ∆Vmax →0
                                    i=1
где через ∆Vmax обозначен максимальный объем среди всех элементар-
ных объемов ∆Vi .

                                      25

Страницы