Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Конечный предел суммы
σ =
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
при беспредельном уменьшении объемов ∆V
i
элементарных областей V
i
и беспредельном возрастании числа n элементарных областей называ-
ется тройным интегралом (Римана) от функции f(x, y, z) по области
V и обозначается символом:
ZZZ
V
f(x, y, z) dV .
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области V , ни
от выбора точек (x
i
, y
i
, z
i
) внутри элементарных областей V
i
.
Итак,
ZZZ
V
f(x, y, z) dV
def
= lim
∆V
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
,
где ∆V
max
= max
i
∆V
i
.
Отнесем область V к прямоугольным координатам и допустим, что
элементарные области V
i
получаются путем разбиения объема всего те-
ла V на прямоугольные параллелепипеды со сторонами ∆x
i
, ∆y
i
и ∆z
i
.
Тогда мы можем написать, что ∆V
i
= ∆x
i
∆y
i
∆z
i
для всех i . Выра-
жение dV = dx dy dz называется элементом объема в прямоугольных
координатах. Таким образом, определение тройного интеграла в прямо-
угольной декартовой системе координат примет вид:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz = lim
∆x
max
→0
∆y
max
→0
∆z
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆x
i
∆y
i
∆z
i
,
где ∆x
max
= max
i
∆x
i
, ∆y
max
= max
i
∆y
i
, ∆z
max
= max
i
∆z
i
.
Теория тройного интеграла строится по той же схеме, что и теория
двойного интеграла.
26
   Определение. Конечный предел суммы
                               n
                               X
                          σ=         f(xi , yi , zi ) ∆Vi
                               i=1

при беспредельном уменьшении объемов ∆Vi элементарных областей Vi
и беспредельном возрастании числа n элементарных областей называ-
ется тройным интегралом (Римана) от функции f(x, y, z) по области
V и обозначается символом:
                         ZZZ
                             f(x, y, z) dV .
                              V
Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения области V , ни
от выбора точек (xi , yi , zi ) внутри элементарных областей Vi .
    Итак,
            ZZZ                            Xn
                                 def
                f(x, y, z) dV = lim           f(xi , yi , zi ) ∆Vi ,
                                     ∆Vmax →0
                                                i=1
              V
где ∆Vmax = max ∆Vi .
              i
    Отнесем область V к прямоугольным координатам и допустим, что
элементарные области Vi получаются путем разбиения объема всего те-
ла V на прямоугольные параллелепипеды со сторонами ∆xi , ∆yi и ∆zi .
Тогда мы можем написать, что ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi для всех i . Выра-
жение dV = dx dy dz называется элементом объема в прямоугольных
координатах. Таким образом, определение тройного интеграла в прямо-
угольной декартовой системе координат примет вид:
      ZZZ                           Xn
          f(x, y, z) dx dy dz = lim    f(xi , yi , zi ) ∆xi ∆yi ∆zi ,
                                  ∆xmax →0
                                  ∆ymax →0 i=1
       V                          ∆zmax →0

где ∆xmax = max ∆xi , ∆ymax = max ∆yi , ∆zmax = max ∆zi .
              i                 i                i
    Теория тройного интеграла строится по той же схеме, что и теория
двойного интеграла.

                                        26

Страницы