Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

или, что тоже
I
∗
= I
∗
.
Теорема 3. Если функция ρ = f(x, y, z) непрерывна в области V ,
то она интегрируема в этой области.
Теорема 4. Если ограниченная функция ρ = f(x, y, z) имеет в об-
ласти V разрывы разве лишь на конечном числе гладких поверхностей,
то она интегрируема по Риману в этой области.
2.2. Свойства тройного интеграла
Свойства тройного интеграла доказываются также, как свойства двой-
ного интеграла, то есть непосредственно из его определения как предела
суммы.
1. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в
области V функции f(x, y, z) вдоль какой-либо гладкой поверхности на
конечные величины, то вновь полученная функция также интегрируе-
ма в области V и ее тройной интеграл равен тройному интегралу от
функции f(x, y, z) .
2. Если область V разбита гладкой поверхностью на две части V
1
и V
2
, то из интегрируемости функции f(x, y, z) в области V следует ее
интегрируемость в областях V
1
и V
2
, причем интеграл по всей области
равен сумме интегралов по ее частям:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
V
1
f(x, y, z) dx dy dz +
ZZZ
V
2
f(x, y, z) dx dy dz .
Эту формулу можно обобщить на произвольное конечное разбиение об-
ласти V на ее составные части V
i
, i = 1, ..., n :
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
n
X
i=1
ZZZ
V
i
f(x, y, z) dx dy dz .
28
или, что тоже
                                  I∗ = I∗ .
     Теорема 3. Если функция ρ = f(x, y, z) непрерывна в области V ,
то она интегрируема в этой области.
    Теорема 4. Если ограниченная функция ρ = f(x, y, z) имеет в об-
ласти V разрывы разве лишь на конечном числе гладких поверхностей,
то она интегрируема по Риману в этой области.


                  2.2. Свойства тройного интеграла

   Свойства тройного интеграла доказываются также, как свойства двой-
ного интеграла, то есть непосредственно из его определения как предела
суммы.
   1. Если произвольным образом изменить значения интегрируемой в
области V функции f(x, y, z) вдоль какой-либо гладкой поверхности на
конечные величины, то вновь полученная функция также интегрируе-
ма в области V и ее тройной интеграл равен тройному интегралу от
функции f(x, y, z) .
     2. Если область V разбита гладкой поверхностью на две части V1
и V2 , то из интегрируемости функции f(x, y, z) в области V следует ее
интегрируемость в областях V1 и V2 , причем интеграл по всей области
равен сумме интегралов по ее частям:
 ZZZ                       ZZZ                       ZZZ
     f(x, y, z) dx dy dz =     f(x, y, z) dx dy dz +     f(x, y, z) dx dy dz .
 V                         V1                        V2
Эту формулу можно обобщить на произвольное конечное разбиение об-
ласти V на ее составные части Vi , i = 1, ..., n :
          ZZZ                       n ZZZ
                                    X
              f(x, y, z) dx dy dz =        f(x, y, z) dx dy dz .
                                      i=1
            V                               Vi

                                     28

Страницы