Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3. Постоянный множитель c = const может быть вынесен за знак
интеграла:
ZZZ
V
c · f(x, y, z) dx dy dz = c
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz .
4. Если в области V интегрируемы функции f(x, y, z) и g(x, y, z) ,
то в этой области интегрируема функция f(x, y, z) + g(x, y, z) , причем:
ZZZ
V
(f(x, y, z) + g(x, y, z)) dx dy dz =
=
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz +
ZZZ
V
g(x, y, z) dx dy dz .
Эту формулу можно легко обобщить на произвольное число слагаемых:
ZZZ
V
n
X
i=1
f
i
(x, y, z) dx dy dz =
n
X
i=1
ZZZ
V
f
i
(x, y, z) dx dy dz .
5. Если для интегрируемых в области V функций f(x, y, z) и g(x, y, z)
неравенство f(x, y, z) 6 g(x, y, z) выполняется в каждой точке этой об-
ласти, то
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz 6
ZZZ
V
g(x, y, z) dx dy dz .
6. Если функция f(x, y, z) интегрируема в области V , то функция
|f(x, y, z)| также интегрируема в этой области и справедливо неравен-
ство:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6
ZZZ
V
|f(x, y, z)| dx dy dz .
7. Теорема о среднем значении интеграла. Если функция f(x, y, z)
интегрируема в области V и удовлетворяет в этой области неравенствам
m 6 f(x, y, z) 6 M ,
29
   3. Постоянный множитель c = const может быть вынесен за знак
интеграла:
             ZZZ                                    ZZZ
                   c · f(x, y, z) dx dy dz = c              f(x, y, z) dx dy dz .
             V                                      V
    4. Если в области V интегрируемы функции f(x, y, z) и g(x, y, z) ,
то в этой области интегрируема функция f(x, y, z) + g(x, y, z) , причем:
                 ZZZ
                     (f(x, y, z) + g(x, y, z)) dx dy dz =
                         V
                   ZZZ                           ZZZ
              =          f(x, y, z) dx dy dz +            g(x, y, z) dx dy dz .
             V                         V
Эту формулу можно легко обобщить на произвольное число слагаемых:
       ZZZ X
           n                          n ZZZ
                                      X
              fi (x, y, z) dx dy dz =       fi (x, y, z) dx dy dz .
                 i=1                            i=1
         V                                              V
   5. Если для интегрируемых в области V функций f(x, y, z) и g(x, y, z)
неравенство f(x, y, z) 6 g(x, y, z) выполняется в каждой точке этой об-
ласти, то
            ZZZ                       ZZZ
                f(x, y, z) dx dy dz 6     g(x, y, z) dx dy dz .
                 V                              V
   6. Если функция f(x, y, z) интегрируема в области V , то функция
|f(x, y, z)| также интегрируема в этой области и справедливо неравен-
ство:         ¯                       ¯
              ¯ZZZ                    ¯ ZZZ
              ¯                       ¯
              ¯                       ¯
              ¯    f(x, y, z) dx dy dz¯ 6   |f(x, y, z)| dx dy dz .
              ¯                       ¯
              ¯V                      ¯   V
   7. Теорема о среднем значении интеграла. Если функция f(x, y, z)
интегрируема в области V и удовлетворяет в этой области неравенствам

                                 m 6 f(x, y, z) 6 M ,

                                           29

Страницы