Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Функция ρ = f(x, y, z) называется интегрируемой по
Риману в области V , если для нее существует тройной интеграл Римана
по этой области.
Теорема 1. Если функция ρ = f(x, y, z) интегрируема по Риману в
области V , то она ограничена в этой области.
Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для тройного
интеграла определяются следующим образом:
s
def
=
n
X
i=1
m
i
∆V
i
, S
def
=
n
X
i=1
M
i
∆V
i
,
где
m
i
= inf
(x,y,z)∈V
i
f(x, y, z) , M
i
= sup
(x,y,z)∈V
i
f(x, y, z) .
Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области V проведением новых поверхно-
стей деления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области V на элементарные
области.
3) При данном разбиении и независимо от выбора точек (x
i
, y
i
, z
i
) будут
выполняться неравенства
s 6 σ 6 S .
Определение. Нижний I
∗
и верхний I
∗
интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:
I
∗
= sup
T
s , I
∗
= inf
T
S ,
где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области V .
Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
lim
∆V
max
→0
(S − s) = 0
27
      Определение. Функция ρ = f(x, y, z) называется интегрируемой по
Риману в области V , если для нее существует тройной интеграл Римана
по этой области.
    Теорема 1. Если функция ρ = f(x, y, z) интегрируема по Риману в
области V , то она ограничена в этой области.
   Определение. Нижняя s и верхняя S суммы Дарбу для тройного
интеграла определяются следующим образом:
                              n
                              X                           n
                                                          X
                        def                         def
                      s=            mi ∆Vi , S =                Mi ∆Vi ,
                              i=1                         i=1

где
              mi =      inf       f(x, y, z) , Mi =             sup     f(x, y, z) .
                     (x,y,z)∈Vi                            (x,y,z)∈Vi

      Свойства сумм Дарбу.
1) При дальнейшем разбиении области V проведением новых поверхно-
стей деления, нижняя сумма Дарбу не убывает, а верхняя не возрастает.
2) Каждая нижняя сумма Дарбу не превышает каждой верхней, даже
отвечающей любому другому разложению области V на элементарные
области.
3) При данном разбиении и независимо от выбора точек (xi , yi , zi ) будут
выполняться неравенства
                                        s6σ6S.
      Определение. Нижний I∗ и верхний I∗ интегралы Дарбу опреде-
ляются следующим образом:

                               I∗ = sup s , I∗ = inf S ,
                                        T                  T

где супремум и инфимум берутся по всем разбиениям T области V .
    Теорема 2. Для существования двойного интеграла, необходимо и
достаточно, чтобы
                                      lim (S − s) = 0
                                    ∆Vmax →0


                                               27

Страницы