Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

подобно тому, как мы это сделали в предыдущей главе для двойных ин-
тегралов.
Пусть P = {(x, y, z) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d , g 6 z 6 h} —
параллелепипед в трехмерном пространстве, отнесенном к декартовой
системе координат x , y , z .
Теорема 1. Если функция f(x, y, z) интегрируема в параллелепи-
педе P , и ∀(x, y) ∈ P
xy
= {(x, y) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} существует
определенный интеграл Римана
I(x, y) =
h
Z
g
f(x, y, z) dz ,
то существует также повторный интеграл
ZZ
P
xy
dS
h
Z
g
f(x, y, z) dz
def
=
ZZ
P
xy
I(x, y) dS ,
причем выполняется равенство
ZZZ
P
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZ
P
xy
dS
h
Z
g
f(x, y, z) dz .
Доказательство. Разобьем параллелепипед P сетью плоскостей, па-
раллельных координатным плоскостям. Тогда параллелепипед
P
разло-
жится на элементарные параллелепипеды
P
ijk
= {(x, y) | x
i
6 x 6 x
i+1
, y
j
6 y 6 y
j+1
, z
k
6 z 6 z
k+1
} .
Введем числа
m
ijk
= inf
(x,y,z)∈P
ijk
f(x, y, z) , M
ijk
= sup
(x,y,z)∈P
ijk
f(x, y, z) .
Очевидно, что
m
ijk
6 f(x, y, z) 6 M
ijk
, ∀(x, y, z) ∈ P
ijk
.
31
подобно тому, как мы это сделали в предыдущей главе для двойных ин-
тегралов.
   Пусть P = {(x, y, z) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d , g 6 z 6 h} —
параллелепипед в трехмерном пространстве, отнесенном к декартовой
системе координат x , y , z .
   Теорема 1. Если функция f(x, y, z) интегрируема в параллелепи-
педе P , и ∀(x, y) ∈ Pxy = {(x, y) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} существует
определенный интеграл Римана
                                            Zh
                               I(x, y) =         f(x, y, z) dz ,
                                            g

то существует также повторный интеграл
                       ZZ       Zh                          ZZ
                                                      def
                            dS f(x, y, z) dz =                   I(x, y) dS ,
                        Pxy     g                           Pxy
причем выполняется равенство
               ZZZ                                    ZZ         Zh
                      f(x, y, z) dx dy dz =                 dS f(x, y, z) dz .
                P                                     Pxy        g


   Доказательство. Разобьем параллелепипед P сетью плоскостей, па-
раллельных координатным плоскостям. Тогда параллелепипед P разло-
жится на элементарные параллелепипеды

      Pijk = {(x, y) | xi 6 x 6 xi+1 , yj 6 y 6 yj+1 , zk 6 z 6 zk+1 } .

Введем числа

          mijk =         inf        f(x, y, z) , Mijk =               sup       f(x, y, z) .
                     (x,y,z)∈Pijk                                (x,y,z)∈Pijk

Очевидно, что

                mijk 6 f(x, y, z) 6 Mijk , ∀(x, y, z) ∈ Pijk .

                                                 31

Страницы