Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то окончательно можно записать формулу
ZZZ
P
f(x, y, z) dx dy dz =
b
Z
a
dx
d
Z
c
dy
h
Z
g
f(x, y, z) dz ,
причем порядок интегрирования в таком повторном интеграле можно
произвольно менять.
Теперь рассмотрим случай произвольной области V ∈ E
3
. Отнесем
пространство к прямоугольным декартовым координатам. Пусть D —
область на координатной плоскости xy , являющаяся проекцией обла-
сти V на эту плоскость. Рассмотрим область V , ограниченную свер-
ху и снизу поверхностями, являющимися графиками гладких функций
z = z
1
(x, y) и z = z
2
(x, y) , определенных в области D, а с боков ци-
линдрической поверхностью с образующими, параллельными оси z и
проходящими через границу области D.
Теорема 2. Если функция f(x, y, z) интегрируема в области
V = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D , z
1
(x, y) 6 z 6 z
2
(x, y)} ,
где z = z
1
(x, y) и z = z
2
(x, y) — гладкие функции определенные в
области D, и ∀(x, y) ∈ D существует определенный интеграл Римана
I(x, y) =
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz ,
то существует также повторный интеграл
ZZ
D
dS
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz
def
=
ZZ
D
I(x, y) dS ,
причем выполняется равенство
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZ
D
dS
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz .
33
то окончательно можно записать формулу
            ZZZ                                   Zb      Zd        Zh
                  f(x, y, z) dx dy dz =                dx dy f(x, y, z) dz ,
           P                    a   c   g

причем порядок интегрирования в таком повторном интеграле можно
произвольно менять.
   Теперь рассмотрим случай произвольной области V ∈ E3 . Отнесем
пространство к прямоугольным декартовым координатам. Пусть D —
область на координатной плоскости xy , являющаяся проекцией обла-
сти V на эту плоскость. Рассмотрим область V , ограниченную свер-
ху и снизу поверхностями, являющимися графиками гладких функций
z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) , определенных в области D , а с боков ци-
линдрической поверхностью с образующими, параллельными оси z и
проходящими через границу области D .
   Теорема 2. Если функция f(x, y, z) интегрируема в области

           V = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D , z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y)} ,

где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) — гладкие функции определенные в
области D , и ∀(x, y) ∈ D существует определенный интеграл Римана
                                           z2 (x,y)
                                              Z
                            I(x, y) =                 f(x, y, z) dz ,
                                           z1 (x,y)

то существует также повторный интеграл
                  ZZ        z2 (x,y)
                               Z                               ZZ
                                                        def
                       dS              f(x, y, z) dz =              I(x, y) dS ,
              D     z1 (x,y)                                   D
причем выполняется равенство
            ZZZ                                   ZZ           z2 (x,y)
                                                                  Z
                  f(x, y, z) dx dy dz =                 dS                f(x, y, z) dz .
            V                                     D           z1 (x,y)

                                                33

Страницы