Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

которая называется формулой сведения тройного интеграла к повтор-
ному. В этой формуле подразумевается, что сначала выполняется инте-
грирование по z , затем интегрирование по y , а потом интегрирование
по x . Таким образом, мы свели задачу вычисления тройного интеграла
к задаче последовательного вычисления трех определенных интегралов.
Пример. Вычислить тройной интеграл
ZZZ
V
xyz dx dy dz ,
где область V ограничена поверхностями y = x
2
, x = y
2
, z = xy ,
z = 0 .
Решение. Область интегрирования ограничена с боков параболиче-
скими цилиндрами y = x
2
и x = y
2
, снизу координатной плоскостью
xy , а сверху гиперболическим параболоидом z = xy , поэтому, сводя
тройной интеграл к повторному, будем иметь:
ZZZ
V
xyz dx dy dz =
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
dy
xy
Z
0
xyz dz =
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
xy
z
2
2
¯
¯
¯
¯
xy
0
dy =
=
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
x
3
y
3
2
dy =
1
Z
0
x
3
y
4
8
¯
¯
¯
¯
√
x
x
2
dx =
1
8
1
Z
0
(x
5
− x
11
) dx =
1
96
.
2.4. Перемена порядка интегрирования
Рассмотрим снова замкнутую поверхность S , ограничивающую в
трехмерном евклидовом пространстве область V . Наряду с проекцией
поверхности S на плоскость xy , как это мы делали в предыдущем па-
раграфе, можно рассмотреть также ее проекции на другие координат-
ные плоскости. Проекцией поверхности S на плоскость xz будет неко-
торая плоская область D
0
, а соответствующий цилиндр разделит по-
верхность S на две поверхности, задаваемые уравнениями y = y
1
(x, z) ,
35
которая называется формулой сведения тройного интеграла к повтор-
ному. В этой формуле подразумевается, что сначала выполняется инте-
грирование по z , затем интегрирование по y , а потом интегрирование
по x . Таким образом, мы свели задачу вычисления тройного интеграла
к задаче последовательного вычисления трех определенных интегралов.
   Пример. Вычислить тройной интеграл
                      ZZZ
                          xyz dx dy dz ,
                                        V
где область V ограничена поверхностями y = x2 , x = y2 , z = xy ,
z = 0.
   Решение. Область интегрирования ограничена с боков параболиче-
скими цилиндрами y = x2 и x = y2 , снизу координатной плоскостью
xy , а сверху гиперболическим параболоидом z = xy , поэтому, сводя
тройной интеграл к повторному, будем иметь:
                                             √                             √
    ZZZ                           Z1         Zx        Z
                                                       xy          Z1      Zx         ¯xy
                                                                                  z2 ¯¯
          xyz dx dy dz =               dx         dy        xyz dz = dx         xy ¯ dy =
                                                                                  2 0
     V                            0          x2        0               0   x2
                       √
             Z1        Zx   3 3         Z1           ¯√
                                                  3 4¯ x  Z1
                            xy               xy ¯       1                     1
         =        dx           dy =             ¯  dx =      (x5 − x11 ) dx =    .
                             2                8 x2      8                     96
             0         x2               0                          0


                   2.4. Перемена порядка интегрирования

   Рассмотрим снова замкнутую поверхность S , ограничивающую в
трехмерном евклидовом пространстве область V . Наряду с проекцией
поверхности S на плоскость xy , как это мы делали в предыдущем па-
раграфе, можно рассмотреть также ее проекции на другие координат-
ные плоскости. Проекцией поверхности S на плоскость xz будет неко-
торая плоская область D 0 , а соответствующий цилиндр разделит по-
верхность S на две поверхности, задаваемые уравнениями y = y1 (x, z) ,

                                                       35

Страницы