Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y = y
2
(x, z) . Аналогично, проекцией на плоскость yz будет некоторая
плоская область D
00
, поверхности же, на которые разделится поверх-
ность S , будут иметь уравнения x = x
1
(y, z) , x = x
2
(y, z) . Имея ввиду
результаты предыдущего параграфа, мы теперь можем записать форму-
лу сведения тройного интеграла к повторному во всех возможных на-
правлениях:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZ
D
dx dy
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz =
=
ZZ
D
0
dx dz
y
2
(x,z)
Z
y
1
(x,z)
f(x, y, z) dy =
ZZ
D
00
dy dz
x
2
(y,z)
Z
x
1
(y,z)
f(x, y, z) dx .
Записывая двойные интегралы через повторные с использованием обо-
значений предыдущей главы, получим окончательно:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
=
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
dy
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz =
d
Z
c
dy
x
2
(y)
Z
x
1
(y)
dx
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz =
=
b
Z
a
dx
z
2
(x)
Z
z
1
(x)
dz
y
2
(x,z)
Z
y
1
(x,z)
f(x, y, z) dy =
h
Z
g
dz
x
2
(z)
Z
x
1
(z)
dx
y
2
(x,z)
Z
y
1
(x,z)
f(x, y, z) dy =
=
d
Z
c
dy
z
2
(y)
Z
z
1
(y)
dz
x
2
(y,z)
Z
x
1
(y,z)
f(x, y, z) dx =
h
Z
g
dz
y
2
(z)
Z
y
1
(z)
dy
x
2
(y,z)
Z
x
1
(y,z)
f(x, y, z) dx ,
где g и h — аппликаты крайних сечений тела V плоскостями, пер-
пендикулярными оси z ; z = z
1
(x) и z = z
2
(x) , а также x = x
1
(z) и
36
y = y2 (x, z) . Аналогично, проекцией на плоскость yz будет некоторая
плоская область D 00 , поверхности же, на которые разделится поверх-
ность S , будут иметь уравнения x = x1 (y, z) , x = x2 (y, z) . Имея ввиду
результаты предыдущего параграфа, мы теперь можем записать форму-
лу сведения тройного интеграла к повторному во всех возможных на-
правлениях:
                 ZZZ                                       ZZ                   z2 (x,y)
                                                                                   Z
                          f(x, y, z) dx dy dz =                 dx dy                      f(x, y, z) dz =
                  V                                        D                    z1 (x,y)

                 ZZ                  y2 (x,z)
                                        Z                             ZZ                   x2 (y,z)
                                                                                              Z
        =               dx dz                   f(x, y, z) dy =              dy dz                    f(x, y, z) dx .
        D0     y1 (x,z)           D 00     x1 (y,z)

Записывая двойные интегралы через повторные с использованием обо-
значений предыдущей главы, получим окончательно:
                     ZZZ
                         f(x, y, z) dx dy dz =
                                                 V
        Zb        y2Z(x)            z2 (x,y)
                                       Z                          Zd        x2Z(y)          z2 (x,y)
                                                                                               Z
   =         dx                dy               f(x, y, z) dz =        dy             dx               f(x, y, z) dz =
        a         y1 (x)            z1 (x,y)                      c         x1 (y)          z1 (x,y)


        Zb            z2Z(x)        y2 (x,z)
                                       Z                          Zh        x2Z(z)          y2 (x,z)
                                                                                               Z
    =        dx                dz              f(x, y, z) dy =         dz            dx                f(x, y, z) dy =
        a         z1 (x)            y1 (x,z)                      g         x1 (z)         y1 (x,z)



            Zd         z2Z(y)         x2 (y,z)
                                         Z                            Zh        y2Z(z)        x2 (y,z)
                                                                                                 Z
    =            dy             dz               f(x, y, z) dx =           dz            dy              f(x, y, z) dx ,
            c          z1 (y)        x1 (y,z)                         g         y1 (z)        x1 (y,z)

где g и h — аппликаты крайних сечений тела V плоскостями, пер-
пендикулярными оси z ; z = z1 (x) и z = z2 (x) , а также x = x1 (z) и

                                                             36

Страницы