Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 38 стр.

   Отображение F можно также задать вектор-функцией
               r = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k .
Координатные линии определяются уравнениями
           r = r(u, v0 , w0 ) , r = r(u0 , v, w0 ) , r = r(u0 , v0 , w) ,
а координатные поверхности уравнениями
             r = r(u, v, w0 ) , r = r(u, v0 , w) , r = r(u0 , v, w) ,
где u0 , v0 , w0 — некоторые фиксированные значения параметров.
   Параметры u , v и w называются криволинейными координатами в
области V . Область V 0 вместе с уравнениями перехода (то есть уравне-
ниями, задающими взаимно-однозначное дифференцируемое отображе-
ние F : V 0 → V ) называется координатной системой в области V .
    Выражение dV = dx dy dz называется элементом объема в прямо-
угольных координатах. Нам необходимо вычислить элемент объема в
криволинейных координатах.
   Рассмотрим элементарный параллелепипед в области V 0 с длинами
сторон ∆u , ∆v и ∆w . При отображении F ему будет соответствовать
«криволинейный параллелепипед» — малая область, ограниченная близ-
кими координатными поверхностями криволинейной системы координат
в области V . Обозначим его объем через ∆V . Если одна из его вершин
имеет криволинейные координаты (u0 , v0 , w0 ) , то векторы перемещения
к соседним вершинам можно записать в виде
  a = r(u0 + ∆u, v0 , w0 ) − r(u0 , v0 , w0 ) = ∂r (u0 , v0 , w0 ) ∆u + o(∆u) ,
                                                ∂u
  b = r(u0 , v0 + ∆v, w0 ) − r(u0 , v0 , w0 ) = ∂r (u0 , v0 , w0 ) ∆v + o(∆v) ,
                                                ∂v
  c = r(u0 , v0 , w0 + ∆w) − r(u0 , v0 , w0 ) = ∂r (u0 , v0 , w0 ) ∆w + o(∆w) .
                                                ∂w
    Очевидно, что объем ∆V с точностью до бесконечно малых выс-
ших порядков равен объему параллелепипеда, построенного на векторах
∂r ∆u , ∂r ∆v и ∂r ∆w .
∂u       ∂v          ∂w
                                        38