Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из курса аналитической геометрии мы знаем, что объем V парал-
лелепипеда, построенного на трех векторах a(x
1
, y
1
, z
1
) , b(x
2
, y
2
, z
2
) и
c(x
3
, y
3
, z
3
) выражается при помощи смешанного произведения векторов
формулой:
V = |(a, b, c)| = |
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
| .
Применяя эту формулу для объема ∆V , получим:
∆V = |
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
| ∆u ∆v ∆w ,
то есть ∆V = |J(u, v, w)| ∆u ∆v ∆w .
Рассмотрим тройной интеграл от функции ρ = f(x, y, z) по области
V . В декартовой системе координат по определению
ZZZ
V
f(x, y, z) dV =
=
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz
def
= lim
∆x
max
→0
∆y
max
→0
∆z
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆x
i
∆y
i
∆z
i
,
где область V разложена на элементарные области сетью плоскостей па-
раллельных координатным плоскостям декартовой системы координат.
Рассмотрим теперь разбиение области V сетью координатных по-
верхностей криволинейной системы координат. По определению
ZZZ
V
f(x, y, z) dV
def
= lim
∆V
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
, z
i
) ∆V
i
.
Применим к каждой элементарной области формулу
∆V
i
= |J(u
i
, v
i
, w
i
)| ∆u
i
∆v
i
∆w
i
,
39
   Из курса аналитической геометрии мы знаем, что объем V парал-
лелепипеда, построенного на трех векторах a(x1 , y1 , z1 ) , b(x2 , y2 , z2 ) и
c(x3 , y3 , z3 ) выражается при помощи смешанного произведения векторов
формулой:                                  ¯          ¯
                                           ¯ x1 y1 z1 ¯
                                           ¯          ¯
                                           ¯          ¯
                       V = |(a, b, c)| = | ¯ x2 y2 z2 ¯ | .
                                           ¯          ¯
                                           ¯ x3 y3 z3 ¯
    Применяя эту формулу для объема ∆V , получим:
                          ¯                 ¯
                          ¯ ∂x ∂x ∂x ¯
                          ¯ ∂u ∂v ∂w ¯
                          ¯                 ¯
                          ¯ ∂y ∂y ∂y ¯
                  ∆V = | ¯¯                 ¯ | ∆u ∆v ∆w ,
                                            ¯
                          ¯ ∂u    ∂v   ∂w   ¯
                          ¯ ∂z ∂z ∂z ¯
                          ¯                 ¯
                            ∂u ∂v ∂w
то есть ∆V = |J(u, v, w)| ∆u ∆v ∆w .
    Рассмотрим тройной интеграл от функции ρ = f(x, y, z) по области
V . В декартовой системе координат по определению
                            ZZZ
                                f(x, y, z) dV =
                               V
         ZZZ                                        n
                                                    X
                                   def
     =         f(x, y, z) dx dy dz =       lim            f(xi , yi , zi ) ∆xi ∆yi ∆zi ,
                                         ∆xmax →0
                                         ∆ymax →0 i=1
         V                               ∆zmax →0
где область V разложена на элементарные области сетью плоскостей па-
раллельных координатным плоскостям декартовой системы координат.
   Рассмотрим теперь разбиение области V сетью координатных по-
верхностей криволинейной системы координат. По определению
            ZZZ                     Xn
                              def
                f(x, y, z) dV = lim    f(xi , yi , zi ) ∆Vi .
                                         ∆Vmax →0
                                                    i=1
                 V
Применим к каждой элементарной области формулу

                       ∆Vi = |J(ui , vi , wi )| ∆ui ∆vi ∆wi ,

                                            39

Страницы