Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить трой-
ной интеграл:
ZZZ
V
z dx dy dz ,
где область V ограничена поверхностями x
2
+ y
2
= a
2
, z = 0 , z = h .
Решение. Область V — это круговой цилиндр радиуса a и высоты
h , поэтому, переходя к цилиндрическим координатам, получим:
ZZZ
V
z dx dy dz =
a
Z
0
dr
2π
Z
0
dϕ
h
Z
0
zr dz =
=
a
Z
0
dr
2π
Z
0
r
z
2
2
¯
¯
¯
¯
h
0
dϕ =
a
Z
0
r
h
2
2
ϕ
¯
¯
¯
¯
2π
0
dr = πh
2
a
Z
0
r dr =
1
2
πa
2
h
2
.
Рассмотрим теперь формулы перехода к сферическим координатам:
x = r cos ϕ sin θ ,
y = r sin ϕ sin θ ,
z = r cos θ .
где r — длина радиус-вектора данной точки, угол ϕ подобен аналогич-
ному углу полярной системы координат, а угол θ отсчитывается от по-
ложительного направления оси z до направления радиус-вектора точки
и может меняться в пределах от 0 до π . Модуль якобиана этой коорди-
натной системы равен
|J| = r
2
sin θ .
Формула замены переменных в тройном интеграле принимает вид:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
=
ZZZ
V
0
f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ) r
2
sin θ dr dϕ dθ .
41
   Пример. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить трой-
ной интеграл:                          ZZZ
                                              z dx dy dz ,
                           V
где область V ограничена поверхностями x2 + y2 = a2 , z = 0 , z = h .
    Решение. Область V — это круговой цилиндр радиуса a и высоты
h , поэтому, переходя к цилиндрическим координатам, получим:
                           ZZZ                   Za        Z
                                                           2π     Zh
                                 z dx dy dz =         dr        dϕ zr dz =
                           V                     0         0      0

           Za        Z
                     2π        ¯h Za 2 ¯2π      Za
                           z2 ¯¯     h ¯¯              1
       =        dr        r ¯ dϕ = r ϕ¯ dr = πh2 r dr = πa2 h2 .
                           2 0       2 0               2
           0         0                 0                               0
   Рассмотрим теперь формулы перехода к сферическим координатам:
                       
                       
                        x = r cos ϕ sin θ ,
                         y = r sin ϕ sin θ ,
                       
                       
                         z = r cos θ       .
где r — длина радиус-вектора данной точки, угол ϕ подобен аналогич-
ному углу полярной системы координат, а угол θ отсчитывается от по-
ложительного направления оси z до направления радиус-вектора точки
и может меняться в пределах от 0 до π . Модуль якобиана этой коорди-
натной системы равен
                                           |J| = r2 sin θ .
Формула замены переменных в тройном интеграле принимает вид:
                     ZZZ
                         f(x, y, z) dx dy dz =
                                   V
            ZZZ
       =             f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ) r2 sin θ dr dϕ dθ .
               V0
                                                 41

Страницы