Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 42 стр.

   Следует иметь ввиду, что иногда в учебной и научной литературе
сферическую систему координат выбирают в другом варианте. Отличие
между этим вариантом и предыдущим заключается в отсчете угла θ , ко-
торый в этом случае отсчитывается не от положительного направления
оси z , а от плоскости xy , причем выше плоскости углы считаются поло-
жительными по знаку, а ниже отрицательными, и, таким образом, угол
θ может меняться в пределах от − π до π . В этом варианте выбора
                                    2      2
сферической системы координат функции перехода имеют вид:
                       
                       
                        x = r cos ϕ cos θ ,
                          y = r sin ϕ cos θ ,
                       
                       
                          z = r sin θ       .
Модуль якобиана равен:
                                   |J| = r2 cos θ .
Формула замены переменных в тройном интеграле принимает вид:
                     ZZZ
                         f(x, y, z) dx dy dz =
                             V
           ZZZ
       =         f(r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ) r2 cos θ dr dϕ dθ .
          V0
   Пример. Перейдя к сферическим координатам, вычислить тройной
интеграл:         ZZZ p
                        x2 + y2 + z2 dx dy dz ,
                    V
где область V — внутренность шарового сектора с центром в начале
координат, радиусом a и углом при вершине 2α (0 < α < π) , ось
симметрии сектора — ось z .
   Решение. Переходим к сферическим координатам
                       
                       
                        x = r cos ϕ sin θ ,
                          y = r sin ϕ sin θ ,
                       
                       
                          z = r cos θ       .

                                         42