Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Внутри указанного шарового сектора координата r меняется в пределах
от 0 до a , координата ϕ в пределах от 0 до 2π , а координата θ в
пределах от 0 до α . Учитывая, что r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, получим:
ZZZ
V
p
x
2
+ y
2
+ z
2
dx dy dz =
a
Z
0
dr
2π
Z
0
dϕ
α
Z
0
r
3
sin θ dθ =
=
a
Z
0
dr
2π
Z
0
r
3
(− cos θ)
¯
¯
¯
¯
α
0
dϕ =
a
Z
0
r
3
(1 − cos α)ϕ
¯
¯
¯
¯
2π
0
dr =
= 2π(1 − cos α)
a
Z
0
r
3
dr = πa
4
1 − cos α
2
= πa
4
sin
2
α
2
.
2.6. Приложения тройных интегралов
1. Вычисление объемов тел произвольной формы
V =
ZZZ
V
dx dy dz .
2. Вычисление массы (заряда) тела. Пусть ρ = ρ(x, y, z) — плотность
массы (заряда) неоднородного (неравномерно заряженного) тела V . В
параграфе 1 этой главы было продемонстрировано, что масса m (заряд
q ) тела выражается тройным интегралом
m (или q) =
ZZZ
V
ρ(x, y, z) dx dy dz .
3. Вычисление центра масс неоднородного тела. Повторяя аналогич-
ные рассуждения, приведенные в предыдущей главе для плоской пла-
стины, и формулируя их здесь для тела в трехмерном пространстве, по-
лучим формулу
r
c
=
RRR
V
r ρ(x, y, z) dx dy dz
RRR
V
ρ(x, y, z) dx dy dz
,
43
Внутри указанного шарового сектора координата r меняется в пределах
от 0 до a , координата ϕ в пределах от 0 до 2π , а координата θ в
                                      p
пределах от 0 до α . Учитывая, что r = x2 + y2 + z2 , получим:
         ZZZ p                                            Za        Z
                                                                    2π      Zα
                    x2 + y2 + z2 dx dy dz =                    dr        dϕ r3 sin θ dθ =
         V                                                0         0       0

              Za        Z
                        2π                ¯α    Za               ¯2π
                                          ¯                      ¯
          =        dr        r3 (− cos θ)¯¯ dϕ = r3 (1 − cos α)ϕ¯¯ dr =
                                             0                                      0
              0         0                                 0
                                    Za
                                                              1 − cos α           α
          = 2π(1 − cos α) r3 dr = πa4                                   = πa4 sin2 .
                                                                  2               2
                                    0


                   2.6. Приложения тройных интегралов

   1. Вычисление объемов тел произвольной формы
                             ZZZ
                        V=       dx dy dz .
                              V
   2. Вычисление массы (заряда) тела. Пусть ρ = ρ(x, y, z) — плотность
массы (заряда) неоднородного (неравномерно заряженного) тела V . В
параграфе 1 этой главы было продемонстрировано, что масса m (заряд
q ) тела выражается тройным интегралом
                             ZZZ
                 m (или q) =     ρ(x, y, z) dx dy dz .
                             V
   3. Вычисление центра масс неоднородного тела. Повторяя аналогич-
ные рассуждения, приведенные в предыдущей главе для плоской пла-
стины, и формулируя их здесь для тела в трехмерном пространстве, по-
лучим формулу                       RRR
                                             r ρ(x, y, z) dx dy dz
                               rc = V
                                    RRR                                         ,
                                                 ρ(x, y, z) dx dy dz
                                         V
                                                     43

Страницы