Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где предполагается, что
x
i
= x(u
i
, v
i
, w
i
) , y
i
= y(u
i
, v
i
, w
i
) , z
i
= z(u
i
, v
i
, w
i
) .
Тогда интегральная сумма принимает вид
n
X
i=1
f(x(u
i
, v
i
, w
i
), y(u
i
, v
i
, w
i
), z(u
i
, v
i
, w
i
)) |J(u
i
, v
i
, w
i
)| du
i
dv
i
dw
i
,
и, очевидно, она является интегральной суммой для тройного интегра-
ла по области V
0
. Заметим, что при ∆V
max
→ 0 будут иметь место
∆u
max
→0 , ∆v
max
→0 и ∆w
max
→0 . На основании всего этого мы
можем записать следующую формулу:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
V
0
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J| du dv dw ,
которая называется формулой замены переменных в тройном интегра-
ле.
Рассмотрим формулы перехода к цилиндрическим координатам:
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
z = z .
Координаты r и ϕ — это полярные координаты на плоскости xy . Непо-
средственное вычисление якобиана дает:
J =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
cos ϕ − r sin ϕ 0
sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= r .
Формула замены переменных в тройном интеграле принимает вид:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
V
0
f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz .
40
где предполагается, что

              xi = x(ui , vi , wi ) , yi = y(ui , vi , wi ) , zi = z(ui , vi , wi ) .

Тогда интегральная сумма принимает вид
  n
  X
        f(x(ui , vi , wi ), y(ui , vi , wi ), z(ui , vi , wi )) |J(ui , vi , wi )| dui dvi dwi ,
  i=1

и, очевидно, она является интегральной суммой для тройного интегра-
ла по области V 0 . Заметим, что при ∆Vmax → 0 будут иметь место
∆umax → 0 , ∆vmax → 0 и ∆wmax → 0 . На основании всего этого мы
можем записать следующую формулу:
ZZZ                     ZZZ
   f(x, y, z) dx dy dz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J| du dv dw ,
 V                              V0
которая называется формулой замены переменных в тройном интегра-
ле.
     Рассмотрим формулы перехода к цилиндрическим координатам:
                          
                          
                           x = r cos ϕ ,
                             y = r sin ϕ ,
                          
                          
                             z=z        .

Координаты r и ϕ — это полярные координаты на плоскости xy . Непо-
средственное вычисление якобиана дает:
                       ¯                   ¯
                       ¯ cos ϕ − r sin ϕ 0 ¯
                       ¯                   ¯
                       ¯                   ¯
                   J = ¯ sin ϕ  r cos ϕ 0 ¯ = r .
                       ¯                   ¯
                       ¯ 0         0     1¯

Формула замены переменных в тройном интеграле принимает вид:
     ZZZ                       ZZZ
         f(x, y, z) dx dy dz =     f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz .
          V                                V0

                                                40

Страницы