Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 37 стр.

x = x2 (z) — функции границы области D 0 ; z = z1 (y) и z = z2 (y) , а
также y = y1 (z) и y = y2 (z) — функции границы области D 00 . При ре-
шении практических задач порядок интегрирования выбирается из со-
ображений удобства и диктуется геометрическим устройством области
интегрирования V .


         2.5. Замена переменных в тройном интеграле

   Подобно двойным интегралам, тройные интегралы тоже можно рас-
сматривать относительно некоторых криволинейных координат, что во
многих случаях может упростить задачу интегрирования.
   Пусть V — область в трехмерном евклидовом пространстве E3 . Вве-
дем в области V некоторые новые произвольные координаты u , v и w ,
однозначно связанные с декартовыми координатами уравнениями пере-
хода:                     
                          
                           x = x(u, v, w) ,
                       F:    y = y(u, v, w) ,
                          
                          
                             z = z(u, v, w) ,
где x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) и z = z(u, v, w) непрерывно диффе-
ренцируемые функции переменных u , v , w . Эти функции определяют
взаимно-однозначное дифференцируемое отображение F некоторой об-
ласти V 0 в пространстве, отнесенном к декартовым координатам u , v ,
w на область V в пространстве, отнесенном к декартовым координатам
x , y , z , если якобиан этого отображения:
                               ¯            ¯
                               ¯ ∂x ∂x ∂x ¯
                               ¯ ∂u ∂v ∂w ¯
                               ¯            ¯
                               ¯ ∂y ∂y ∂y ¯
                          J = ¯¯            ¯ 6= 0
                                            ¯
                               ¯ ∂u ∂v  ∂w  ¯
                               ¯ ∂z ∂z ∂z ¯
                               ¯            ¯
                                 ∂u ∂v ∂w
в каждой точке области V 0 .

                                  37