Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть V ⊂ P , где
P = {(x, y, z) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d , g 6 y 6 h} .
Рассмотрим функцию
F(x, y, z) =
±
f(x, y, z) , если (x, y, z) ∈ V ,
0 , если (x, y, z) ∈ P\V .
Очевидно
ZZZ
P
F(x, y, z) dx dy dz =
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz ,
так как
ZZZ
P\V
F(x, y, z) dx dy dz = 0 .
При каждом (x, y) ∈ D имеем
h
Z
g
F(x, y, z) dz =
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz .
По теореме 1
ZZZ
P
F(x, y, z) dx dy dz =
ZZ
D
dS
h
Z
g
F(x, y, z) dz =
ZZ
D
dS
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz ,
откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Замечание. Если область D в плоскости xy имеет вид
D = {(x, y) | a 6 x 6 b , y
1
(x) 6 y 6 y
2
(x)} ,
то, сводя в полученной формуле двойной интеграл по области D к по-
вторному также, как мы это делали в предыдущей главе, окончательно
получим формулу:
ZZZ
V
f(x, y, z) dx dy dz =
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
dy
z
2
(x,y)
Z
z
1
(x,y)
f(x, y, z) dz ,
34
   Доказательство. Пусть V ⊂ P , где

             P = {(x, y, z) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d , g 6 y 6 h} .

Рассмотрим функцию
                                 ±
                                      f(x, y, z) , если (x, y, z) ∈ V ,
                 F(x, y, z) =
                                         0              , если (x, y, z) ∈ P\V .
Очевидно
                 ZZZ                                        ZZZ
                       F(x, y, z) dx dy dz =                      f(x, y, z) dx dy dz ,
                  P                                         V
так как                         ZZZ
                                      F(x, y, z) dx dy dz = 0 .
                    P\V
При каждом (x, y) ∈ D имеем
                         Zh                            z2 (x,y)
                                                          Z
                              F(x, y, z) dz =                     f(x, y, z) dz .
                         g                             z1 (x,y)

По теореме 1
 ZZZ                              ZZ         Zh                               ZZ           z2 (x,y)
                                                                                              Z
       F(x, y, z) dx dy dz =            dS F(x, y, z) dz =                            dS              f(x, y, z) dz ,
  P                    D     g              D    z1 (x,y)

откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
   Замечание. Если область D в плоскости xy имеет вид

                   D = {(x, y) | a 6 x 6 b , y1 (x) 6 y 6 y2 (x)} ,

то, сводя в полученной формуле двойной интеграл по области D к по-
вторному также, как мы это делали в предыдущей главе, окончательно
получим формулу:
           ZZZ                                    Zb         y2Z(x)        z2 (x,y)
                                                                              Z
                 f(x, y, z) dx dy dz =                 dx             dy              f(x, y, z) dz ,
            V                                     a         y1 (x)         z1 (x,y)

                                                       34

Страницы