Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда ∀(
˜
x
i
,
˜
y
j
) ∈ [x
i
, x
i+1
] × [y
j
, y
j+1
] = P
ij
согласно теореме о среднем
значении определенного интеграла имеем
m
ijk
∆z
k
6
z
k+1
Z
z
k
f(
˜
x
i
,
˜
y
j
, z) dz 6 M
ijk
∆z
k
,
где ∆z
k
= z
k+1
− z
k
и рассматриваемый определенный интеграл суще-
ствует, так как ∃I(x, y) , ∀(x, y) ∈ P
xy
. Составим суммы
X
k
m
ijk
∆z
k
6 I(
˜
x
i
,
˜
y
j
) =
h
Z
g
f(
˜
x
i
,
˜
y
j
, z) dz 6
X
k
M
ijk
∆z
k
,
где суммы берутся по всем допустимым значениям индекса k . Умножим
все части этой цепочки неравенств на ∆x
i
= x
i+1
−x
i
и ∆y
j
= y
j+1
−y
j
и
просуммируем по всем допустимым значениям индексов i и j . Получим
s =
X
i,j,k
m
ijk
∆x
i
∆y
j
∆z
k
6
X
i,j
I(
˜
x
i
,
˜
y
j
) ∆x
i
∆y
j
6
X
i,j,k
M
ijk
∆x
i
∆y
j
∆z
k
= S,
где слева и справа получились суммы Дарбу для тройного интеграла
функции f(x, y, z) по параллелепипеду P , а в центре интегральная сум-
ма для двойного интеграла от функции I(x, y) по прямоугольнику P
xy
.
При устремлении сторон всех элементарных параллелепипедов к нулю
суммы Дарбу s и S устремятся к значению
RRR
P
f(x, y, z ) dx dy dz снизу
и сверху соответственно, а предел интегральной суммы для двойного ин-
теграла от функции I(x, y) по прямоугольнику P
xy
даст значение этого
интеграла
ZZ
P
xy
I(x, y) dS =
ZZ
P
xy
dS
h
Z
g
f(x, y, z) dz .
Отсюда с учетом теоремы о среднем теории пределов получаем утвер-
ждение теоремы. Теорема доказана.
Замечание. Если в полученной формуле свести двойной интеграл
по области P
xy
к повторному, как мы это делали в предыдущей главе,
32
Тогда ∀(x̃i , ỹj ) ∈ [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] = Pij согласно теореме о среднем
значении определенного интеграла имеем
                                    Z
                                   zk+1

                     mijk ∆zk 6           f(x̃i , ỹj , z) dz 6 Mijk ∆zk ,
                                   zk

где ∆zk = zk+1 − zk и рассматриваемый определенный интеграл суще-
ствует, так как ∃I(x, y) , ∀(x, y) ∈ Pxy . Составим суммы

            X                                Zh                           X
                mijk ∆zk 6 I(x̃i , ỹj ) =        f(x̃i , ỹj , z) dz 6          Mijk ∆zk ,
            k                                g                               k

где суммы берутся по всем допустимым значениям индекса k . Умножим
все части этой цепочки неравенств на ∆xi = xi+1 −xi и ∆yj = yj+1 −yj и
просуммируем по всем допустимым значениям индексов i и j . Получим
    X                    X                          X
s=    mijk ∆xi ∆yj ∆zk 6    I(x̃i , ỹj ) ∆xi ∆yj 6   Mijk ∆xi ∆yj ∆zk = S,
    i,j,k                          i,j                               i,j,k

где слева и справа получились суммы Дарбу для тройного интеграла
функции f(x, y, z) по параллелепипеду P , а в центре интегральная сум-
ма для двойного интеграла от функции I(x, y) по прямоугольнику Pxy .
При устремлении сторон всех элементарных параллелепипедов к нулю
                                            RRR
суммы Дарбу s и S устремятся к значению          f(x, y, z) dx dy dz снизу
                                             P
и сверху соответственно, а предел интегральной суммы для двойного ин-
теграла от функции I(x, y) по прямоугольнику Pxy даст значение этого
интеграла
                   ZZ              ZZ   Zh
                      I(x, y) dS =    dS f(x, y, z) dz .
                         Pxy                     Pxy    g

Отсюда с учетом теоремы о среднем теории пределов получаем утвер-
ждение теоремы. Теорема доказана.
    Замечание. Если в полученной формуле свести двойной интеграл
по области Pxy к повторному, как мы это делали в предыдущей главе,

                                                  32

Страницы