Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим теперь разбиение области D сетью координатных кри-
вых криволинейной системы координат. По определению
ZZ
D
f(x, y) dS
def
= lim
∆S
max
→0
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆S
i
.
Применим к каждой элементарной области формулу
∆S
i
= |J(u
i
, v
i
)| ∆u
i
∆v
i
,
где предполагается, что x
i
= x(u
i
, v
i
) , y
i
= y(u
i
, v
i
) . Тогда интеграль-
ная сумма принимает вид
n
X
i=1
f(x(u
i
, v
i
), y(u
i
, v
i
)) |J(u
i
, v
i
)| ∆u
i
∆v
i
,
и, очевидно, она является интегральной суммой для двойного интегра-
ла по области D
0
. Заметим, что при ∆S
max
→ 0 будут иметь место
∆u
max
→0 и ∆v
max
→0 . На основании всего этого мы можем записать
следующую формулу:
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
0
f(x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| du dv ,
которая называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим формулы перехода к полярным координатам:
±
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ .
В этом случае
J =
¯
¯
¯
¯
¯
cos ϕ − r sin ϕ
sin ϕ r cos ϕ
¯
¯
¯
¯
¯
= r .
Формула замены переменных в двойном интеграле принимает вид:
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
0
f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ .
19
   Рассмотрим теперь разбиение области D сетью координатных кри-
вых криволинейной системы координат. По определению
              ZZ                   X n
                            def
                 f(x, y) dS = lim      f(xi , yi ) ∆Si .
                                        ∆Smax →0
                                                   i=1
                 D
Применим к каждой элементарной области формулу

                             ∆Si = |J(ui , vi )| ∆ui ∆vi ,

где предполагается, что xi = x(ui , vi ) , yi = y(ui , vi ) . Тогда интеграль-
ная сумма принимает вид
                 n
                 X
                       f(x(ui , vi ), y(ui , vi )) |J(ui , vi )| ∆ui ∆vi ,
                 i=1

и, очевидно, она является интегральной суммой для двойного интегра-
ла по области D 0 . Заметим, что при ∆Smax → 0 будут иметь место
∆umax → 0 и ∆vmax → 0 . На основании всего этого мы можем записать
следующую формулу:
       ZZ                 ZZ
          f(x, y) dx dy =    f(x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| du dv ,
         D                        D0
которая называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
   Рассмотрим формулы перехода к полярным координатам:
                        ±
                          x = r cos ϕ ,
                                       y = r sin ϕ .
В этом случае                ¯                           ¯
                             ¯ cos ϕ − r sin ϕ           ¯
                             ¯                           ¯
                           J=¯                           ¯=r.
                             ¯ sin ϕ  r cos ϕ            ¯
Формула замены переменных в двойном интеграле принимает вид:
           ZZ                 ZZ
              f(x, y) dx dy =    f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ .
             D                         D0
                                            19

Страницы