Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 16 стр.

   Решение. Область интегрирования ограничена двумя гладкими кри-
выми x = 1 − y2 , x = y2 − 1 . Снизу эта область ограничена кусочно-
гладкой кривой:
                         ± √
                          − 1 + x при −1 ≤ x ≤ 0 ,
                y1 (x) =   √
                          − 1 − x при 0 ≤ x ≤ 1 ,
а сверху кусочно-гладкой кривой:
                        ±√
                            1 + x при −1 ≤ x ≤ 0 ,
                y2 (x) = √
                            1 − x при 0 ≤ x ≤ 1 .
Верхняя и нижняя границы области не являются гладкими, поэтому
разобьем область на две области вертикальной прямой, проходящей че-
рез точки перелома границы. Получим:
                                              √                          √
   Z1        y2Z−1                  Z0          Z1+x              Z1       Z1−x
        dy           f(x, y) dx =        dx            f(x, y) dy + dx            f(x, y) dy .
                                               √                          √
  −1         1−y2                   −1        − 1+x               0      − 1−x



              1.5. Замена переменных в двойном интеграле

   В предыдущих параграфах мы определили и научились вычислять
двойные интегралы в прямоугольной декартовой системе координат. Од-
нако в практических задачах очень часто бывает необходимо уметь вы-
числять интегралы в произвольной криволинейной системе координат.
   Пусть D — область на плоскости, отнесенной к прямоугольным де-
картовым координатам x и y . Введем в области D некоторые новые
произвольные координаты u и v , однозначно связанные с декартовыми
координатами уравнениями перехода:
                          ±
                             x = x(u, v) ,
                       F:
                             y = y(u, v) ,
где x = x(u, v) и y = y(u, v) — непрерывно дифференцируемые функ-
ции переменных u и v . Однозначность уравнений перехода необходима

                                                       16