Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Пусть D ⊂ P , где
P = {(x, y ) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} .
Рассмотрим функцию
F(x, y) =
±
f(x, y) , если (x, y) ∈ D ,
0 , если (x, y) ∈ P\D .
Очевидно
ZZ
P
F(x, y) dx dy =
ZZ
D
f(x, y) dx dy ,
так как
ZZ
P\D
F(x, y) dx dy = 0 .
При каждом x ∈ [a, b] имеем
d
Z
c
F(x, y) dy =
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy .
По теореме 1 предыдущего параграфа
ZZ
P
F(x, y) dx dy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
F(x, y) dy =
b
Z
a
dx
y
2
(x)
Z
y
1
(x)
f(x, y) dy ,
откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Пример. Вычислить двойной интеграл
ZZ
D
(x + 2y) dx dy ,
где область D ограничена кривыми y = x
2
и y =
√
x .
Решение. Область D ограничена снизу кривой y = x
2
, а сверху
кривой y =
√
x , поэтому имеем:
ZZ
D
(x + 2y) dx dy =
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
(x + 2y) dy =
14
   Доказательство. Пусть D ⊂ P , где
                        P = {(x, y) | a 6 x 6 b , c 6 y 6 d} .
Рассмотрим функцию
                                   ±
                                       f(x, y) , если (x, y) ∈ D ,
                   F(x, y) =
                                          0     , если (x, y) ∈ P\D .
Очевидно                ZZ                            ZZ
                             F(x, y) dx dy =               f(x, y) dx dy ,
                        P                             D
так как                             ZZ
                                          F(x, y) dx dy = 0 .
                       P\D
При каждом x ∈ [a, b] имеем
                             Zd                  y2Z(x)

                                  F(x, y) dy =             f(x, y) dy .
                             c                   y1 (x)

По теореме 1 предыдущего параграфа
          ZZ                        Zb     Zd                   Zb    y2Z(x)

               F(x, y) dx dy =           dx F(x, y) dy = dx                    f(x, y) dy ,
        P               a    c               a y1 (x)

откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
   Пример. Вычислить двойной интеграл
                         ZZ
                            (x + 2y) dx dy ,
                         D
                                             √
где область D ограничена кривыми y = x2 и y = x .
   Решение. Область D ограничена снизу кривой y = x2 , а сверху
           √
кривой y = x , поэтому имеем:
                                                           √
                   ZZ                            Z1     Zx
                        (x + 2y) dx dy =              dx (x + 2y) dy =
                   D                             0         x2

                                                14

Страницы