Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно, что
m
ik
6 f(x, y) 6 M
ik
, ∀(x, y) ∈ P
ik
.
Тогда ∀
˜
x
i
∈ [x
i
, x
i+1
] по теореме о среднем значении определенного ин-
теграла имеем
m
ik
∆y
k
6
y
k+1
Z
y
k
f(
˜
x
i
, y) dy 6 M
ik
∆y
k
,
где ∆y
k
= y
k+1
− y
k
и интеграл существует, так как ∃I(x) , ∀x ∈ [a, b] .
Составим суммы
X
k
m
ik
∆y
k
6 I(
˜
x
i
) =
d
Z
c
f(
˜
x
i
, y) dy 6
X
k
M
ik
∆y
k
,
где суммы берутся по всем допустимым значениям индекса k . Умножим
все части этой цепочки неравенств на ∆x
i
= x
i+1
− x
i
и просуммируем
по всем допустимым значениям индекса i . Получим
s =
X
i,k
m
ik
∆x
i
∆y
k
6
X
i
I(
˜
x
i
) ∆x
i
6
X
i,k
M
ik
∆x
i
∆y
k
= S ,
где слева и справа получились суммы Дарбу для двойного интеграла
функции f(x, y) по прямоугольнику P , а в центре интегральная сум-
ма для определенного интеграла функции I(x) по сегменту [a, b] . При
устремлении сторон всех элементарных прямоугольников к нулю суммы
Дарбу s и S устремятся к значению
RR
P
f(x, y) dx dy снизу и сверху соот-
ветственно, а предел интегральной суммы для определенного интеграла
функции I(x) по сегменту [a, b] даст значение этого интеграла
b
Z
a
I(x) dx =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f(x, y) dy .
Отсюда с учетом теоремы о среднем теории пределов получаем утвер-
ждение теоремы. Теорема доказана.
11
Очевидно, что

                    mik 6 f(x, y) 6 Mik , ∀(x, y) ∈ Pik .

Тогда ∀x̃i ∈ [xi , xi+1 ] по теореме о среднем значении определенного ин-
теграла имеем
                                  Z
                                 yk+1

                   mik ∆yk 6            f(x̃i , y) dy 6 Mik ∆yk ,
                                  yk

где ∆yk = yk+1 − yk и интеграл существует, так как ∃I(x) , ∀x ∈ [a, b] .
Составим суммы

           X                             Zd                     X
                 mik ∆yk 6 I(x̃i ) =          f(x̃i , y) dy 6       Mik ∆yk ,
            k                            c                      k

где суммы берутся по всем допустимым значениям индекса k . Умножим
все части этой цепочки неравенств на ∆xi = xi+1 − xi и просуммируем
по всем допустимым значениям индекса i . Получим
           X                X                X
       s=     mik ∆xi ∆yk 6    I(x̃i ) ∆xi 6   Mik ∆xi ∆yk = S ,
           i,k                     i                      i,k

где слева и справа получились суммы Дарбу для двойного интеграла
функции f(x, y) по прямоугольнику P , а в центре интегральная сум-
ма для определенного интеграла функции I(x) по сегменту [a, b] . При
устремлении сторон всех элементарных прямоугольников к нулю суммы
                                   RR
Дарбу s и S устремятся к значению     f(x, y) dx dy снизу и сверху соот-
                                   P
ветственно, а предел интегральной суммы для определенного интеграла
функции I(x) по сегменту [a, b] даст значение этого интеграла
                        Zb               Zb        Zd
                             I(x) dx =        dx f(x, y) dy .
                        a                a         c

Отсюда с учетом теоремы о среднем теории пределов получаем утвер-
ждение теоремы. Теорема доказана.

                                              11

Страницы