Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Даньшин А.Ю. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

области D. Нашей задачей будет найти объем V тела V . Эта задача и
приведет нас к определению двойного интеграла подобно тому, как за-
дача о нахождении площади криволинейной трапеции приводит к опре-
деленному интегралу.
Разложим область D сетью кривых на элементарные (малые) обла-
сти D
1
, D
2
, D
3
, ..., D
n
и рассмотрим набор цилиндрических столбиков,
которые имеют своим основанием эти элементарные области и в сово-
купности составляют данное тело V . Вычислим объемы этих столби-
ков. Поскольку области D
i
малы мы можем приближенно считать наши
столбики настоящими цилиндрами. Как мы знаем, объем цилиндра вы-
числяется как произведение площади основания на высоту: V = S · h .
Обозначим объемы наших элементарных цилиндров через ∆V
i
, площа-
ди их оснований будем обозначать буквами ∆S
i
. Для того, чтобы найти
высоты наших цилиндров возьмем внутри каждой области D
i
по одной
произвольной точке с координатами (x
i
, y
i
) . Тогда высота i -го цилин-
дра будет равна значению нашей функции в этой точке f(x
i
, y
i
) . Таким
образом, имеем:
∆V
i
= f(x
i
, y
i
) ∆S
i
.
Объем всего тела V приближенно равен сумме всех элементарных объ-
емов:
V ≈
n
X
i=1
∆V
i
=
n
X
i=1
f(x
i
, y
i
) ∆S
i
.
Чем мельче будет разбиение нашей области, тем точнее будет это ра-
венство, а в пределе при беспредельном уменьшении каждой из элемен-
тарных областей D
i
и беспредельном возрастании числа n элементар-
ных областей это равенство станет точным. Чтобы отразить тот факт,
что размеры всех областей D
i
мы будем устремлять к нулю, обозначим
через ∆S
max
максимальную площадь среди всех областей D
i
, то есть
∆S
max
= max
i
∆S
i
. Тогда если ∆S
max
→0 , то и ∆S
i
→0 для всех i .
Здесь подразумевается также, что количество областей n стремится к
4
области D . Нашей задачей будет найти объем V тела V . Эта задача и
приведет нас к определению двойного интеграла подобно тому, как за-
дача о нахождении площади криволинейной трапеции приводит к опре-
деленному интегралу.
   Разложим область D сетью кривых на элементарные (малые) обла-
сти D1 , D2 , D3 , ..., Dn и рассмотрим набор цилиндрических столбиков,
которые имеют своим основанием эти элементарные области и в сово-
купности составляют данное тело V . Вычислим объемы этих столби-
ков. Поскольку области Di малы мы можем приближенно считать наши
столбики настоящими цилиндрами. Как мы знаем, объем цилиндра вы-
числяется как произведение площади основания на высоту: V = S · h .
Обозначим объемы наших элементарных цилиндров через ∆Vi , площа-
ди их оснований будем обозначать буквами ∆Si . Для того, чтобы найти
высоты наших цилиндров возьмем внутри каждой области Di по одной
произвольной точке с координатами (xi , yi ) . Тогда высота i -го цилин-
дра будет равна значению нашей функции в этой точке f(xi , yi ) . Таким
образом, имеем:
                          ∆Vi = f(xi , yi ) ∆Si .
Объем всего тела V приближенно равен сумме всех элементарных объ-
емов:                    n             n
                         X             X
                    V≈         ∆Vi =         f(xi , yi ) ∆Si .
                         i=1           i=1
Чем мельче будет разбиение нашей области, тем точнее будет это ра-
венство, а в пределе при беспредельном уменьшении каждой из элемен-
тарных областей Di и беспредельном возрастании числа n элементар-
ных областей это равенство станет точным. Чтобы отразить тот факт,
что размеры всех областей Di мы будем устремлять к нулю, обозначим
через ∆Smax максимальную площадь среди всех областей Di , то есть
∆Smax = max ∆Si . Тогда если ∆Smax → 0 , то и ∆Si → 0 для всех i .
          i
Здесь подразумевается также, что количество областей n стремится к

                                       4

Страницы