Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Задача Коши для системы ОДУ
Следовательно, m = 2 и 4 коэффициента метода необходимо опреде-
лить из трех уравнений
p
1
+ p
2
= 1,
2α
2
p
2
= 1,
2β
21
p
2
= 1.
Принимая, например, α
2
за свободный параметр, α
2
∈ (0, 1], найдем:
β
21
= α
2
, p
2
=
1
2α
2
, p
1
= 1 −
1
2α
2
. (19)
Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство фор-
му Рунге-Кутта 2-го порядка точности. В частности, полагая α
2
=
1; 2/3; 1/2 в (19), придем к трем конкретным формулам.
4. Методы Рунге-Кутта при q = 3. Формулы имеют вид
y
i+1
= y
i
+ h
(
p
1
k
1
+ p
2
k
2
+ p
3
k
3
)
,
где
k
1
= f(t
i
, y
i
),
k
2
= f(t
i
+ α
2
h, y
i
+ β
21
hk
1
),
k
3
= f(t
i
+ α
3
h, y
i
+ β
31
hk
1
+ β
32
hk
2
).
Аналогично тому, как это было сделано выше, получается следующая
система из 6 уравнений для определения для определения 8 коэффи-
циентов метода при m = 3 (см., напр., [3]):
α
2
= β
21
α
3
= β
31
+ β
32
,
p
1
+ p
2
+ p
3
= 1,
2(α
2
p
2
+ α
3
p
3
) = 1,
3(α
2
2
p
2
+ α
2
3
p
3
) = 1,
6α
2
β
32
p
3
= 1.
Эта система имеет два семейства решений: двухпараметрическое со
свободными параметрами α
2
и α
3
, причем, α
2
̸= α
3
и α
2
̸= 2/3, и
однопараметрическое со свободным параметром β
32
(при α
2
= α
3
=
2/3).
В качестве примера укажем коэффициенты при α
2
= 1/2, α
3
= 1:
p
1
= p
3
= 1/6, p
2
= 4/6, β
21
= 1/2, β
31
= −1, β
32
= 2.
16                                            Задача Коши для системы ОДУ


Следовательно, m = 2 и 4 коэффициента метода необходимо опреде-
лить из трех уравнений
                              p1 + p2 = 1,
                                2α2 p2 = 1,
                               2β21 p2 = 1.
Принимая, например, α2 за свободный параметр, α2 ∈ (0, 1], найдем:
                                   1              1
                  β21 = α2 , p2 =     , p1 = 1 −     .        (19)
                                  2α2            2α2
Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство фор-
му Рунге-Кутта 2-го порядка точности. В частности, полагая α2 =
1; 2/3; 1/2 в (19), придем к трем конкретным формулам.
      4. Методы Рунге-Кутта при q = 3. Формулы имеют вид
                              (                     )
                 yi+1 = yi + h p1 k1 + p2 k2 + p3 k3 ,
где
               k1 = f (ti , yi ),
               k2 = f (ti + α2 h, yi + β21 hk1 ),
               k3 = f (ti + α3 h, yi + β31 hk1 + β32 hk2 ).
Аналогично тому, как это было сделано выше, получается следующая
система из 6 уравнений для определения для определения 8 коэффи-
циентов метода при m = 3 (см., напр., [3]):
                                     α2 = β21
                                     α3 = β31 + β32 ,
                        p1 + p2 + p3 = 1,
                     2(α2 p2 + α3 p3 ) = 1,
                     3(α22 p2 + α32 p3 ) = 1,
                             6α2 β32 p3 = 1.
Эта система имеет два семейства решений: двухпараметрическое со
свободными параметрами α2 и α3 , причем, α2 ̸= α3 и α2 ̸= 2/3, и
однопараметрическое со свободным параметром β32 (при α2 = α3 =
2/3).
    В качестве примера укажем коэффициенты при α2 = 1/2, α3 = 1:
p1 = p3 = 1/6, p2 = 4/6, β21 = 1/2, β31 = −1, β32 = 2.

Страницы