Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Задача Коши для системы ОДУ
Нетрудно видеть, что условие первого порядка аппроксимации
(первое равенство ψ
i+1
(0) = 0 в (15)) совпадает с условием (13), по-
скольку, в силу уравнения, k
j
(0, u
i
) = f(t
i
, u
i
) = u
′
(t
i
),
ψ
i+1
(0) = u
′
(t
i
) −
q
∑
j=1
p
j
k
j
(0, u
i
) =
(
1 −
q
∑
j=1
p
j
)
u
′
(t
i
).
Для произвольного метода Рунге-Кутта (12), аналогично методу
Эйлера доказывается, что
∥u − y∥ 6 c
0
∥ψ∥,
с постоянной c
0
, зависящей on b −a, λ, q, а также от коэффициентов
метода, но не зависящей от h. Из этой оценки следует, что если по-
рядок погрешности аппроксимации равен m, то найдется постоянная
C(u), зависящая от точного решения u, что
∥u − y∥ 6 c
0
C(u)h
m
.
В этом случае говорят, что порядок точности метода равен m; как
видим, порядок точности совпадает с порядком погрешности аппрок-
симации, чем и обусловлен способ выбора коэффициентов метода.
Доказано, что всегда m 6 q и не существует m-стадийных методов
с порядком m > 5. В следующей таблице указано минимальное число
стадий (q
min
), которое необходимо для обеспечения соответствующего
порядка точности метода.
m 1 2 3 4 5 6 7 8
q
min
1 2 3 4 6 7 9 11
Время работы T
q
программы, реализующей методы с q-стадиями,
определяется величиной qT
f
N, где T
f
время, необходимое для вы-
числения правой части f уравнения (4). В тоже время их точность
оценивается как сверху величиной C/N
m
. Увеличивая число узлов,
скажем, в 10 раз, мы получаем в 10
m
раз более точное решение. От-
сюда ясно, в чем выгода использования методов высокого порядка
точности. С другой стороны, если в вычислениях не нужна очень
большая точность, то методы со средним показателем m (c m = 4),
могут оказаться предпочтительными, поскольку они требуют мень-
шего времени работы программы и имеют достаточную точность.
Рассмотрим, как получаются конкретные методы при небольших
значениях q.
14                                         Задача Коши для системы ОДУ


    Нетрудно видеть, что условие первого порядка аппроксимации
(первое равенство ψi+1 (0) = 0 в (15)) совпадает с условием (13), по-
скольку, в силу уравнения, kj (0, ui ) = f (ti , ui ) = u′ (ti ),
                             ∑
                             q                  (      ∑q       )
                    ′
        ψi+1 (0) = u (ti ) −   pj kj (0, ui ) = 1 −         pj u′ (ti ).
                           j=1                    j=1

   Для произвольного метода Рунге-Кутта (12), аналогично методу
Эйлера доказывается, что
                           ∥u − y∥ 6 c0 ∥ψ∥,
с постоянной c0 , зависящей on b − a, λ, q, а также от коэффициентов
метода, но не зависящей от h. Из этой оценки следует, что если по-
рядок погрешности аппроксимации равен m, то найдется постоянная
C(u), зависящая от точного решения u, что
                         ∥u − y∥ 6 c0 C(u)hm .
В этом случае говорят, что порядок точности метода равен m; как
видим, порядок точности совпадает с порядком погрешности аппрок-
симации, чем и обусловлен способ выбора коэффициентов метода.
    Доказано, что всегда m 6 q и не существует m-стадийных методов
с порядком m > 5. В следующей таблице указано минимальное число
стадий (qmin ), которое необходимо для обеспечения соответствующего
порядка точности метода.
                      m 1 2 3 4 5 6 7 8
                     qmin 1 2 3 4 6 7 9 11
Время работы Tq программы, реализующей методы с q-стадиями,
определяется величиной qTf N , где Tf время, необходимое для вы-
числения правой части f уравнения (4). В тоже время их точность
оценивается как сверху величиной C/N m . Увеличивая число узлов,
скажем, в 10 раз, мы получаем в 10m раз более точное решение. От-
сюда ясно, в чем выгода использования методов высокого порядка
точности. С другой стороны, если в вычислениях не нужна очень
большая точность, то методы со средним показателем m (c m = 4),
могут оказаться предпочтительными, поскольку они требуют мень-
шего времени работы программы и имеют достаточную точность.
   Рассмотрим, как получаются конкретные методы при небольших
значениях q.

Страницы