Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Методы Рунге-Кутта. 13
где
k
1
= f(t
i
, y
i
),
k
2
= f(t
i
+ α
2
h, y
i
+ β
21
hk
1
),
. . . . . . . . . . . . . . .
k
q
=
f
(
t
i
+
α
q
h, y
i
+
β
q1
hk
1
+
β
q2
hk
2
+
. . .
+
β
q,q−1
hk
q−1
)
.
При фиксированном q конкретный метод определяется выбором ко-
эффициентов p
j
, α
j
, β
ℓj
. Всегда выполняется выполняется равенство
p
1
+ p
2
+ . . . + p
q
= 1, (13)
так что при q = 1 приходим к методу Эйлера.
Величины k
j
, определенные выше, зависят, в частности, от h и
y
i
; укажем эту зависимость в виде k
j
(h, y
i
). Так, если u
i
= u(t
i
) есть
значение точного решения в узле сетки t
i
, то k
1
(t
i
, u
i
) = f(t
i
, u
i
),
k
2
(h, u
i
) = f(t
i
+ α
2
h, u
i
+ β
21
hk
1
(t
i
, u
i
)), и т.д. Величину
ψ
i+1
= ψ
i+1
(h) =
u(t
i
+ h) − u
i
h
−
q
∑
j=1
p
j
k
j
(h, u
i
) (14)
называют погрешностью аппроксимации (q-стадийного метода Рунге-
Кутта) в точке сетки с номером i + 1, и рассматривают его как функ-
цию шага сетки h.
Разложим ψ
i+1
в ряд Тейлора
ψ
i+1
(h) = ψ
i+1
(0) + ψ
′
i+1
(0)h + . . . + ψ
(m)
i+1
(0)
h
m
m!
+ o(h
m
),
и подберем коэффициенты p
j
, α
j
, β
ℓj
так, чтобы при возможно боль-
шем m выполнялись равенства
ψ
i+1
(0) = ψ
′
i+1
(0) = . . . = ψ
(m−1)
i+1
(0) = 0. (15)
Тогда
ψ
i+1
= ψ
(m)
i+1
(0)
h
m
m!
+ o(h
m
), (16)
и говорят, что порядок погрешности аппроксимации метода равен m
(ψ
i+1
= O(h
m
)), а первое слагаемое в правой части (16) называют
главным членом погрешности аппроксимации.
§ 2. Методы Рунге-Кутта.                                                          13


где

         k1 = f (ti , yi ),
         k2 = f (ti + α2 h, yi + β21 hk1 ),
        ... ... ...          ... ...
         kq = f (ti + αq h, yi + βq1 hk1 + βq2 hk2 + . . . + βq,q−1 hkq−1 ).

При фиксированном q конкретный метод определяется выбором ко-
эффициентов pj , αj , βℓj . Всегда выполняется выполняется равенство

                             p1 + p2 + . . . + pq = 1,                          (13)

так что при q = 1 приходим к методу Эйлера.
      Величины kj , определенные выше, зависят, в частности, от h и
yi ; укажем эту зависимость в виде kj (h, yi ). Так, если ui = u(ti ) есть
значение точного решения в узле сетки ti , то k1 (ti , ui ) = f (ti , ui ),
k2 (h, ui ) = f (ti + α2 h, ui + β21 hk1 (ti , ui )), и т.д. Величину

                                 u(ti + h) − ui ∑
                                                         q
             ψi+1   = ψi+1 (h) =               −     pj kj (h, ui )             (14)
                                       h         j=1

называют погрешностью аппроксимации (q-стадийного метода Рунге-
Кутта) в точке сетки с номером i + 1, и рассматривают его как функ-
цию шага сетки h.
   Разложим ψi+1 в ряд Тейлора

                                 ′                     (m)     hm
        ψi+1 (h) = ψi+1 (0) +   ψi+1 (0)h   + ... +   ψi+1 (0)      + o(hm ),
                                                              m!
и подберем коэффициенты pj , αj , βℓj так, чтобы при возможно боль-
шем m выполнялись равенства
                                ′                 (m−1)
                    ψi+1 (0) = ψi+1 (0) = . . . = ψi+1 (0) = 0.                 (15)

Тогда
                                  hm(m)
                                     + o(hm ),
                           ψi+1 = ψi+1 (0)                   (16)
                                  m!
и говорят, что порядок погрешности аппроксимации метода равен m
(ψi+1 = O(hm )), а первое слагаемое в правой части (16) называют
главным членом погрешности аппроксимации.

Страницы