Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 12 стр.

12                                          Задача Коши для системы ОДУ


    Второе замечание касается качественного поведения метода, ха-
рактерного для всего класса рассматриваемых задач, но которое лег-
ко пояснить и понять на следующем модельном примере:

                  u′ (t) = −λu, t ∈ (0, T ], u(0) = u0 .

Он соответствует выбору f (t, u) = −λu в задаче (4); здесь u0 > 0, а
постоянная λ > 0 определяет константу Липшица. Точное решение
этой задачи есть u(t) = u0 e−λt ; оно положительно и монотонно убы-
вает с ростом t. Формулы метода Эйлера имеют вид yi+1 = yi − λh yi
или yi+1 = q yi , i = 0, 1, . . . , N − 1, где q = 1 − λh. Следователь-
но, yi = q i u0 . Отсюда следует, что если |q| > 1, т.е. h > 2/λ, то |yi |
возрастает с ростом i, что кардинально расходится с качественным
поведением точного решения (к тому же, при q < 0 приближенное
решение меняет знак в каждой точке сетки). В этом случае говорят,
что приближенное решение ведет себя неустойчиво, поскольку нару-
шено условие устойчивости метода Эйлера, имеющее вид |q| < 1 или

                          h < h0 ,   h0 = 2/λ.                       (11)

При выполнении несколько более сильного условия 0 < q < 1 (т.е.
при h < 1/λ) приближенное решение является положительным и
монотонно убывающим, т.е. качественно верно воспроизводится как
монотонность, так и положительность точного решения. Ясно, что
условие (11) практически не является ограничительным, если λ не
слишком велико (например, λ = O(1)): для обеспечения точности ре-
шения должно выбраться достаточно малое h. Условие (11) является
ограничительным, если λ очень большое; в этом случае необходимо
выбирать очень малое h для получения хотя бы качественно правиль-
ного решения (например, при λ ∼ 106 должно быть h . 10−6 ).
    2. Определение методов Рунге-Кутта. Формулы, требую-
щие q вычислений правой части f на одном шаге интегрирования
(q-стадийные методы Рунге-Кутта), имеют следующий вид:
                           (                             )
              yi+1 = yi + h p1 k1 + p2 k2 + . . . + pq kq , (12)