Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Задача Коши для системы ОДУ
Если решение u(t) является дважды непрерывно дифференцируемой
функцией, то ψ
i+1
является малой величиной, если h достаточно ма-
ло, и ψ
i+1
= O(h). Отбрасывая hψ
i+1
= O(h
2
) в первом равенстве (6),
придем к методу Эйлера:
y
i+1
= y
i
+ h f(t
i
, y
i
), i = 0, 1, . . . , N − 1, y
0
= u
a
. (7)
Эти соотношения позволяют вычислить приближенное решение в
точке сетки (t
i+1
), зная приближенное решение лишь в предыдущей
точке (t
i
). Такие численные методы называются одношаговыми: они
позволяют шаг за шагом определить решение во всех точках сетки.
Оценим точность метода Эйлера в предположении, что функция
f удовлетворяет условию Липшица
|f(t, u) − f(t, y)| 6 λ|u − y| ∀u, y ∈ R, t ∈ [a, b].
Пусть e
i
= u
i
− y
i
; тогда |e
i
| представляет собой абсолютную по-
грешность решения в i-той точке сетки; обозначим через ∥u−y∥ мак-
симальную погрешность, где
∥y∥ = max
i=1,...,N
|y
i
|.
Величина ψ, определяемая согласно (6) формулой
ψ
i+1
=
u
i+1
− u
i
h
− f(t
i
, u
i
), i = 0, 1, . . . , N − 1, (8)
называется погрешностью аппроксимации метода Эйлера и опреде-
ляет малость ∥u − y∥. Чтобы убедиться в этом, получим уравнение
для погрешности, вычитая из равенств (6) равенства (7). Имеем
e
i+1
= e
i
+ h
(
f(t
i
, u
i
) − f(t
i
, y
i
)
)
+ hψ
i+1
. (9)
Воспользуемся условием Липшица и оценкой 1+x 6 e
x
, x > 0. Тогда,
очевидно,
|e
i+1
| 6 (1 + Lh)|e
i
| + h|ψ
i+1
| 6 e
Lh
|e
i
| + h|ψ
i+1
|.
Эта оценка справедлива для любого i = 0, 1, . . . , N −1. Применяя ее
при i+1 = i для оценки |e
i
| в правой части и продолжая этот процесс,
10                                                Задача Коши для системы ОДУ


Если решение u(t) является дважды непрерывно дифференцируемой
функцией, то ψi+1 является малой величиной, если h достаточно ма-
ло, и ψi+1 = O(h). Отбрасывая hψi+1 = O(h2 ) в первом равенстве (6),
придем к методу Эйлера:

         yi+1 = yi + h f (ti , yi ), i = 0, 1, . . . , N − 1, y0 = ua .   (7)

Эти соотношения позволяют вычислить приближенное решение в
точке сетки (ti+1 ), зная приближенное решение лишь в предыдущей
точке (ti ). Такие численные методы называются одношаговыми: они
позволяют шаг за шагом определить решение во всех точках сетки.
    Оценим точность метода Эйлера в предположении, что функция
f удовлетворяет условию Липшица

          |f (t, u) − f (t, y)| 6 λ|u − y| ∀ u, y ∈ R, t ∈ [a, b].

   Пусть ei = ui − yi ; тогда |ei | представляет собой абсолютную по-
грешность решения в i-той точке сетки; обозначим через ∥u − y∥ мак-
симальную погрешность, где

                              ∥y∥ = max |yi |.
                                      i=1,...,N

Величина ψ, определяемая согласно (6) формулой
                    ui+1 − ui
           ψi+1 =             − f (ti , ui ), i = 0, 1, . . . , N − 1,    (8)
                        h
называется погрешностью аппроксимации метода Эйлера и опреде-
ляет малость ∥u − y∥. Чтобы убедиться в этом, получим уравнение
для погрешности, вычитая из равенств (6) равенства (7). Имеем
                          (                           )
             ei+1 = ei + h f (ti , ui ) − f (ti , yi ) + hψi+1 . (9)

Воспользуемся условием Липшица и оценкой 1+x 6 ex , x > 0. Тогда,
очевидно,

          |ei+1 | 6 (1 + Lh)|ei | + h|ψi+1 | 6 eLh |ei | + h|ψi+1 |.

Эта оценка справедлива для любого i = 0, 1, . . . , N − 1. Применяя ее
при i+1 = i для оценки |ei | в правой части и продолжая этот процесс,

Страницы