Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 8 стр.

8                                              Задача Коши для системы ОДУ


    2. Методы решения. Их можно условно разбить на точные,
приближенно-аналитические и численные.
    К точным относятся методы, позволяющие выразить решение че-
рез элементарные функции, либо представить его при помощи инте-
гралов от элементарных функций. Эти методы изучаются в курсе
ОДУ; по этому поводу можно порекомендовать также справочник [2].
Однако классы уравнений, для которых разработаны методы получе-
ния точных решений, сравнительно узки и охватывают только малую
часть возникающих на практике задач. Например, доказано, что ре-
шение первого из уравнений
                                                     u(t) − t
                  u′ (t) = t2 + u2 (t),   u′ (t) =
                                                     u(t) + t
не выражается через элементарные функции, а общее решение вто-
рого имеет вид

                    0.5 ln(t2 + u2 ) + arctg(u/t) = c.

Однако для того, чтобы воспользоваться этой формулой и вычислить
u(t) при конкретном t, надо численно решить это трансцендентное
уравнение, что нисколько не проще, чем численно решить само диф-
ференциальное уравнение.
    К приближенно-аналитическим относятся методы, в которых
решение получается как предел u(t) некоторой последовательности
функций uk (t), причем uk (t) выражается через элементарные функ-
ции или интегралы от них. Ограничиваясь конечным значением k,
получаем приближенное выражение для u(t). Примером может слу-
жить метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, метод
Пикара, метод малого параметра. Однако эти методы удобны лишь
в том случае, когда большую часть промежуточных выкладок удает-
ся провести точно. Это выполнимо для сравнительно простых задач,
что сильно сужает область применения приближенно-аналитических
методов.
    Численные методы — это методы вычисления приближенных
значений искомого решения u(t) на некотором заданном или генери-
руемом в ходе решения задачи множестве точек t1 , t2 , . . . , tN , назы-
ваемом сеткой узлов. Решение при этом получается в виде таблицы.