Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОДУ
§ 1. Введение.
1. Постановка задачи. К обыкновенным дифференциальным
уравнениям сводится изучение многообразных задач в математике и
в различных предметных областях (в физике, химии, биологии, меди-
цине, технике и т.д.). С рядом содержательных задач подобного рода
Вы сможете ознакомится, прочитав гл. 2 данного пособия.
Конкретная задача может приводить к дифференциальному
уравнению любого порядка, или к системе уравнений различных по-
рядков. Но известно, что уравнение n-го порядка
u
(n)
(t) = f(t, u
′
, u
′′
, . . . , u
(n−1)
)
при введении новых неизвестных u
i
(t) = u
(i)
(t) можно свести к экви-
валентной системе n уравнений первого порядка
u
′
i
(t) = u
i+1
, i = 0, 1, . . . , n − 2,
u
′
n−1
(t) = f(t, u
0
, u
1
, . . . , u
n−1
),
где u
0
(t) = u(t). Аналогично, произвольную систему дифференци-
альных уравнений любого порядка можно заменить эквивалентной
системой уравнений первого порядка
u
′
i
(t) = f
i
(t, u
1
, u
2
, . . . , u
n
), i = 1, 2, . . . , n, (1)
записывая их для краткости в векторной форме
u
′
(t) = f(t, u(t)), (2)
где u и f векторы столбцы
u = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
), f = (f
1
, f
2
, . . . , f
n
).
Известно, что система (1) имеет множество решений, которое в об-
щем случае зависит от n параметров c = (c
1
, c
2
, . . . , c
n
) и может быть
                                       Глава 1
      ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОДУ


                                  § 1. Введение.

    1. Постановка задачи. К обыкновенным дифференциальным
уравнениям сводится изучение многообразных задач в математике и
в различных предметных областях (в физике, химии, биологии, меди-
цине, технике и т.д.). С рядом содержательных задач подобного рода
Вы сможете ознакомится, прочитав гл. 2 данного пособия.
    Конкретная задача может приводить к дифференциальному
уравнению любого порядка, или к системе уравнений различных по-
рядков. Но известно, что уравнение n-го порядка
                       u(n) (t) = f (t, u′ , u′′ , . . . , u(n−1) )
при введении новых неизвестных ui (t) = u(i) (t) можно свести к экви-
валентной системе n уравнений первого порядка
                       u′i (t) = ui+1 , i = 0, 1, . . . , n − 2,
                    u′n−1 (t) = f (t, u0 , u1 , . . . , un−1 ),
где u0 (t) = u(t). Аналогично, произвольную систему дифференци-
альных уравнений любого порядка можно заменить эквивалентной
системой уравнений первого порядка
              u′i (t) = fi (t, u1 , u2 , . . . , un ),   i = 1, 2, . . . , n,   (1)
записывая их для краткости в векторной форме
                                 u′ (t) = f (t, u(t)),                          (2)
где u и f векторы столбцы
               u = (u1 , u2 , . . . , un ),      f = (f1 , f2 , . . . , fn ).
Известно, что система (1) имеет множество решений, которое в об-
щем случае зависит от n параметров c = (c1 , c2 , . . . , cn ) и может быть

Страницы