Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Введение. 7
записано в форме u = u(t; c). Для выделения нужного решения надо
наложить n дополнительных условий на функции u
i
(t).
Различают три типа задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собствен-
ные значения. В случае задачи Коши (задачи с начальными услови-
ями) дополнительные условия имеют вид
u
i
(a) = u
ai
, i = 1, 2, . . . , n, (3)
т.е. заданы значения всех функций u
i
в одной и той же точке t = a.
Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке
a 6 t 6 b (или b 6 t 6 a), так что точку t = a можно считать началь-
ной точкой этого отрезка. Условия (3) в векторной записи имеют вид
u(a) = u
a
. Условия (3) можно рассматривать как задание координат
начальной точки (a, u
a1
, . . . , u
an
) интегральной кривой в n+1-мерном
пространстве (t, u
1
, . . . , u
n
).
Хорошо известны условия, гарантирующие существование и един-
ственность решения задачи Коши (см., напр., [1]). Предположим, что
a = 0, все функции f
i
непрерывны по всем аргументам в замкнутой
области
D = {|t| 6 b, |u
i
− u
ai
| 6 c, i = 1, 2, . . . , n}.
Из непрерывности функций f
i
следует их ограниченность, т.е. суще-
ствование такой постоянной M > 0, что всюду в D выполняются
неравенства |f
i
| 6 M , i = 1, 2, . . . , n. Предположим, кроме того,
что в D функции f
i
удовлетворяют условию Липшица по аргумен-
там u
1
, u
2
, . . . , u
n
, т.е.
|f
i
(t, u
1
, u
2
, . . . , u
n
) − f
i
(t, y
1
, y
2
, . . . , y
n
)| 6
6 L
(
|u
1
− y
1
| + |u
2
− y
2
| + . . . + |u
n
− y
n
|
)
для любых точек (t, u
1
, u
2
, . . . , u
n
) и (t, y
1
, y
2
, . . . , y
n
) области D.
Если выполнены эти предположения, то существует единственное
решение системы (1), определенное при |t| 6 min{b, c/M} и прини-
мающее при t = 0 заданные значения (3). Это решение непрерывно
зависит от координат начальной точки (т.е. задача корректно постав-
лена). Если вдобавок правые части f
i
имеют непрерывные производ-
ные по всем аргументам до порядка m включительно, то решение u(t)
имеет имеет m + 1 непрерывную производную по t.
§ 1. Введение.                                                                             7


записано в форме u = u(t; c). Для выделения нужного решения надо
наложить n дополнительных условий на функции ui (t).
   Различают три типа задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собствен-
ные значения. В случае задачи Коши (задачи с начальными услови-
ями) дополнительные условия имеют вид
                          ui (a) = uai ,    i = 1, 2, . . . , n,                      (3)
т.е. заданы значения всех функций ui в одной и той же точке t = a.
Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке
a 6 t 6 b (или b 6 t 6 a), так что точку t = a можно считать началь-
ной точкой этого отрезка. Условия (3) в векторной записи имеют вид
u(a) = ua . Условия (3) можно рассматривать как задание координат
начальной точки (a, ua1 , . . . , uan ) интегральной кривой в n+1-мерном
пространстве (t, u1 , . . . , un ).
     Хорошо известны условия, гарантирующие существование и един-
ственность решения задачи Коши (см., напр., [1]). Предположим, что
a = 0, все функции fi непрерывны по всем аргументам в замкнутой
области
              D = { |t| 6 b, |ui − uai | 6 c, i = 1, 2, . . . , n}.
Из непрерывности функций fi следует их ограниченность, т.е. суще-
ствование такой постоянной M > 0, что всюду в D выполняются
неравенства |fi | 6 M , i = 1, 2, . . . , n. Предположим, кроме того,
что в D функции fi удовлетворяют условию Липшица по аргумен-
там u1 , u2 , . . . , un , т.е.
 |fi (t, u1 , u2 , . . . , un ) − fi (t, y1 , y2 , . . . , yn )| 6
                                             (                                         )
                                      6 L |u1 − y1 | + |u2 − y2 | + . . . + |un − yn |
для любых точек (t, u1 , u2 , . . . , un ) и (t, y1 , y2 , . . . , yn ) области D.
   Если выполнены эти предположения, то существует единственное
решение системы (1), определенное при |t| 6 min{b, c/M } и прини-
мающее при t = 0 заданные значения (3). Это решение непрерывно
зависит от координат начальной точки (т.е. задача корректно постав-
лена). Если вдобавок правые части fi имеют непрерывные производ-
ные по всем аргументам до порядка m включительно, то решение u(t)
имеет имеет m + 1 непрерывную производную по t.

Страницы