Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Методы Рунге-Кутта. 9
Численные методы не позволяют найти общее решение системы (1);
они могут дать только какое-то частное решение, например, решение
задачи Коши (1), (2). Это основной недостаток численных методов;
он компенсируется тем, что эти методы применимы к очень широ-
ким классам уравнений и всем типам задач для них. Поэтому с по-
явлением ЭВМ численные методы стали одним из основных способов
решения конкретных практических задач для ОДУ.
Далее мы кратко рассмотрим одно семейство численных методов
решения задачи Коши — методы Рунге-Кутта. Для простоты изложе-
ния мы ограничиваемся случаем одного уравнения первого порядка
(n = 1). Эти алгоритмы сохраняют свой вид и для случая системы
из n > 1 уравнений, с учетом векторной записи задачи Коши.
§ 2. Методы Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти приближенное решение задачи
u
′
(t) = f(t, u(t)), t ∈ (a, b], u(a) = u
a
, (4)
на равномерной с шагом h сетке узлов
ω
h
= {t
i
= a + ih, i = 0, 1, . . . , N}, h = (b − a)/N.
Через u
i
= u(t
i
) , y
i
будем обозначать соответственно точное и при-
ближенное решение задачи в точке сетки с номером i.
1. Метод Эйлера. Он является простейшим представителем
семейства методов Рунге-Кутта. Получается метод Эйлера, напри-
мер, следующими рассуждениями.
Для каждого i = 0, 1, . . . , N − 1, используя формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа, получим:
u(t
i
+ h) = u(t
i
) + hu
′
(t
i
) +
h
2
2
u
′′
(t
i
+ ξ
i
h), ξ
i
∈ [0, 1]. (5)
Поскольку в силу уравнения (4) справедливо равенство u
′
(t
i
) =
f(t
i
, u(t
i
)), то соотношение (5) перепишется в виде
u
i+1
= u
i
+ hf(t
i
, u
i
) + hψ
i+1
, ψ
i+1
=
h
2
u
′′
(t
i
+ ξ
i
h). (6)
§ 2. Методы Рунге-Кутта.                                                    9


Численные методы не позволяют найти общее решение системы (1);
они могут дать только какое-то частное решение, например, решение
задачи Коши (1), (2). Это основной недостаток численных методов;
он компенсируется тем, что эти методы применимы к очень широ-
ким классам уравнений и всем типам задач для них. Поэтому с по-
явлением ЭВМ численные методы стали одним из основных способов
решения конкретных практических задач для ОДУ.
    Далее мы кратко рассмотрим одно семейство численных методов
решения задачи Коши — методы Рунге-Кутта. Для простоты изложе-
ния мы ограничиваемся случаем одного уравнения первого порядка
(n = 1). Эти алгоритмы сохраняют свой вид и для случая системы
из n > 1 уравнений, с учетом векторной записи задачи Коши.

                      § 2. Методы Рунге-Кутта.

    Пусть требуется найти приближенное решение задачи

                u′ (t) = f (t, u(t)), t ∈ (a, b],    u(a) = ua ,           (4)

на равномерной с шагом h сетке узлов

         ωh = {ti = a + ih, i = 0, 1, . . . , N },    h = (b − a)/N.

Через ui = u(ti ) , yi будем обозначать соответственно точное и при-
ближенное решение задачи в точке сетки с номером i.
    1. Метод Эйлера. Он является простейшим представителем
семейства методов Рунге-Кутта. Получается метод Эйлера, напри-
мер, следующими рассуждениями.
    Для каждого i = 0, 1, . . . , N − 1, используя формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа, получим:
                                           h2 ′′
        u(ti + h) = u(ti ) + hu′ (ti ) +     u (ti + ξi h), ξi ∈ [0, 1].   (5)
                                           2
Поскольку в силу уравнения (4) справедливо равенство u′ (ti ) =
f (ti , u(ti )), то соотношение (5) перепишется в виде
                                                        h ′′
        ui+1 = ui + hf (ti , ui ) + hψi+1 ,    ψi+1 =     u (ti + ξi h).   (6)
                                                        2

Страницы