Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о полете снаряда. 89
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
y
n+1
= y
n
+ hk
2
.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
1
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
y
′
2
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
+ y
2
(y
2
1
+ y
2
2
− 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= cos(t)/(1 + e
2t
)
1/2
, y
2
= sin(t)/(1 + e
2t
)
1/2
.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
2
от выбранного шага h.
5. Решить систему уравнений (1) при помощи разработанной програм-
мы. Рассчитать траектории полета снаряда при следующих исходных
данных:
m = 15 кг., C = 0.2, ρ = 1.29 кг./м
3
,
S = 0.25 м
2
, g = 9.81, v
0
= 50 м/сек.
и значениях начального угла θ
0
= [25
o
, 75
o
]. При каком значении θ
0
дальность полета L = L(θ
0
) будет максимальной. Привести графики
траекторий полета в координатах (x, y), и график L(θ
0
).
Литература
1. Дж.Ортега, У.Пул. Введение в численные методы решения диффе-
ренциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
— М.: Наука, 1987.
Задача о полете снаряда.                                               89


2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида

                  y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,

на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 2-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                       k1 = f (tn , yn ),
                       k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                       yn+1 = yn + hk2 .
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
               y1′ = − sin(t)/(1 + e2t )1/2 + y1 (y12 + y22 − 1),
               y2′ = cos(t)/(1 + e2t )1/2 + y2 (y12 + y22 − 1),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)

           y1 = cos(t)/(1 + e2t )1/2 ,   y2 = sin(t)/(1 + e2t )1/2 .

4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h2 от выбранного шага h.
5. Решить систему уравнений (1) при помощи разработанной програм-
мы. Рассчитать траектории полета снаряда при следующих исходных
данных:

                m = 15 кг., C = 0.2, ρ = 1.29 кг./м3 ,
                S = 0.25 м2 , g = 9.81, v0 = 50 м/сек.

и значениях начального угла θ0 = [25o , 75o ]. При каком значении θ0
дальность полета L = L(θ0 ) будет максимальной. Привести графики
траекторий полета в координатах (x, y), и график L(θ0 ).

                                Литература

1. Дж.Ортега, У.Пул. Введение в численные методы решения диффе-
ренциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.
— М.: Наука, 1987.

Страницы