ВУЗ:
Составители:
Задание 22. Задача о движении двух небесных
тел.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение двух тел под дей-
ствием взаимного гравитационного притяжения. Пусть тело массой
M находится в начале координатной системы xOy, радиус вектор
r = (x(t), y(t)) определяет координаты второго тела массы m. По-
скольку скорость движения v = r
′
= (x
′
, y
′
), то в силу законов Нью-
тона
mv
′
= F , F = γ
mM
|r|
3
r,
или в координатном виде
x
′′
= −α
2
x
r
3
, (1)
y
′′
= −α
2
y
r
3
, α
2
=γM, r=
x
2
+ y
2
.
где γ — гравитационная постоянная. Уравнения (1) дополняются на-
чальными условиями
x(0) = 1 − ε, y(0) = 0, x
′
(0) = 0, y
′
(0) = α
1 + ε
1 − ε
. (2)
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием сил, действующих
на тело массой m.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений второго порядка вида
y
′′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y
′
(0) = y
′
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Нюстрема 4-го по-
Задание 22. Задача о движении двух небесных
тел.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение двух тел под дей-
ствием взаимного гравитационного притяжения. Пусть тело массой
M находится в начале координатной системы xOy, радиус вектор
r = (x(t), y(t)) определяет координаты второго тела массы m. По-
скольку скорость движения v = r′ = (x′ , y ′ ), то в силу законов Нью-
тона
mM
mv ′ = F , F = γ 3 r,
|r|
или в координатном виде
x
x′′ = −α2 , (1)
r3 √
y
y ′′ = −α2 3 , α2 =γM, r= x2 + y 2 .
r
где γ — гравитационная постоянная. Уравнения (1) дополняются на-
чальными условиями
√
1+ε
x(0) = 1 − ε, y(0) = 0, x′ (0) = 0, y ′ (0) = α . (2)
1−ε
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием сил, действующих
на тело массой m.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений второго порядка вида
y ′′ = f (t, y), y(0) = y0 , y ′ (0) = y0′ , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Нюстрема 4-го по-
