Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

84 Модель Вольтерра.
Из вида уравнений (2) следует, что динамика популяции характери-
зуется только одним cущественным положительным параметром σ
(равным отношению прироста жертв к естественной смертности хищ-
ников).
Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
1
),
k
3
= f(t
n
+ h/2, y
n
+ h/2k
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
)/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= −y
2
+ t
2
+ 6t + 1,
y
′
2
= y
1
− 3t
2
+ 3t + 1,
на отрезке [0, 3] с точным решением (проверьте!)
y
1
= 3t
2
− t − 1 + cos(t) + sin(t), y
2
= t
2
+ 2 − cos(t) + sin(t).
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
4
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Найти стационарные решения (состояния равновесия) системы (2).
Как они зависят от параметра σ?
5. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной про-
граммы. Для двух наборов начальных условий (3) в окрестности со-
стояния равновесия и нескольких значений параметра σ расcчитать
динамику популяции. Какие типы решений наблюдаются? Приведи-
те графики наиболее характерных решений в координатах (X, Y ),
(X(t), t) и (Y (t), t) и дайте их интерпретацию.
84                                                             Модель Вольтерра.


Из вида уравнений (2) следует, что динамика популяции характери-
зуется только одним cущественным положительным параметром σ
(равным отношению прироста жертв к естественной смертности хищ-
ников).
                                     Задание
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                   y ′ = f (t, y),   y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                  k1 = f (tn , yn ),
                  k2 = f (tn + h/2, yn + h/2k1 ),
                  k3 = f (tn + h/2, yn + h/2k2 ),
                  k4 = f (tn + h, yn + hk3 ),
                  yn+1 = yn + h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )/6.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
                           y1′ = −y2 + t2 + 6t + 1,
                           y2′ = y1 − 3t2 + 3t + 1,
на отрезке [0, 3] с точным решением (проверьте!)
     y1 = 3t2 − t − 1 + cos(t) + sin(t), y2 = t2 + 2 − cos(t) + sin(t).
3. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h4 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
4. Найти стационарные решения (состояния равновесия) системы (2).
Как они зависят от параметра σ?
5. Решить систему уравнений (2), (3) при помощи разработанной про-
граммы. Для двух наборов начальных условий (3) в окрестности со-
стояния равновесия и нескольких значений параметра σ расcчитать
динамику популяции. Какие типы решений наблюдаются? Приведи-
те графики наиболее характерных решений в координатах (X, Y ),
(X(t), t) и (Y (t), t) и дайте их интерпретацию.

Страницы