Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 21. Система типа хищник-жертва.
Модель Вольтерра.
1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим динамику популяции
двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-
жертва. Обозначим через x = x(t) и y = y(t) плотности популяций
жертв и хищников в момент времени t. Предположим, что
• жертва может найти достаточно пищи для пропитания;
• при каждой встрече с хищником последний убивает жертву;
• норма рождаемости жертв x
b
, нормы естественной смертности
жертв x
d
и хищников c являются постоянными, a = x
b
−x
d
> 0.
• число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от веро-
ятности их встречи и, следовательно, пропорционально произ-
ведению xy; в результате встреч с жертвами число хищников
увеличивается.
При сделанных допущениях динамика популяции описывается следу-
ющей моделью
x
′
= ax − bxy,
y
′
= −c y + dxy,
(1)
известной как уравнения Лотки-Вольтерра (1925 г.).
2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные ве-
личины
X =
(
d
a
)
x, Y =
(
b
a
)
y, τ = at, σ =
c
a
,
преобразуем уравнения (1) к виду
X
′
= X − XY,
Y
′
= −σY + XY.
(2)
Дополним их начальными условиями
X(0) = X
0
, Y (0) = Y
0
. (3)
    Задание 21. Система типа хищник-жертва.
               Модель Вольтерра.


   1. Постановка задачи [1]. Рассмотрим динамику популяции
двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-
жертва. Обозначим через x = x(t) и y = y(t) плотности популяций
жертв и хищников в момент времени t. Предположим, что
  • жертва может найти достаточно пищи для пропитания;
  • при каждой встрече с хищником последний убивает жертву;
  • норма рождаемости жертв xb , нормы естественной смертности
    жертв xd и хищников c являются постоянными, a = xb − xd > 0.
  • число случаев, когда хищник убивает жертву, зависит от веро-
    ятности их встречи и, следовательно, пропорционально произ-
    ведению xy; в результате встреч с жертвами число хищников
    увеличивается.
При сделанных допущениях динамика популяции описывается следу-
ющей моделью
                       x′ = ax − bxy,
                                                           (1)
                       y ′ = −c y + dxy,
известной как уравнения Лотки-Вольтерра (1925 г.).
   2. Безразмерная форма уравнений. Вводя безразмерные ве-
личины           ( )          ( )
                   d            b                  c
            X=        x, Y =      y, τ = at, σ = ,
                   a            a                  a
преобразуем уравнения (1) к виду
                       X ′ = X − XY,
                                                              (2)
                       Y ′ = −σY + XY.
Дополним их начальными условиями
                    X(0) = X0 ,   Y (0) = Y0 .                (3)

Страницы