Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задание 21. Колебания связанных маятников.
Колебания двух маятников, связанных пружиной, в среде, ко-
торая оказывает сопротивление, прямо пропорциональное квадрату
скорости движения, могут быть описаны системой уравнений (см.,
напр. [1]):
x
′′
1
= −ω
2
1
x
1
− α(x
1
− x
2
) − C
1
v
1
|v
1
|,
x
′′
2
= −ω
2
2
x
2
− α(x
2
− x
1
) − C
2
v
2
|v
2
|,
где t — время, x
1
— смещение от положения равновесия первого ма-
ятника, x
2
— смещение от положения равновесия второго маятника,
ω
1
— частота собственных колебаний первого маятника, ω
2
— частота
собственных колебаний второго маятника, α — жесткость пружины
связывающей маятники, C
1
, C
2
— постоянные, характеризующие со-
противление среды для первого и второго маятников соответственно.
Введением новых неизвестных v
1
= x
′
1
, v
2
= x
′
2
уравнения сводят-
ся к 4-м уравнениям 1-го порядка.
Задание.
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ h/3k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
− h/3k
1
+ hk
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
− hk
2
+ hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
2
+ 3k
3
+ k
4
)/8.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= y
2
, y
′
2
= 2y
2
1
(1 − 4t
2
y
1
),
   Задание 21. Колебания связанных маятников.


   Колебания двух маятников, связанных пружиной, в среде, ко-
торая оказывает сопротивление, прямо пропорциональное квадрату
скорости движения, могут быть описаны системой уравнений (см.,
напр. [1]):
                x′′1 = −ω12 x1 − α(x1 − x2 ) − C1 v1 |v1 |,
                x′′2 = −ω22 x2 − α(x2 − x1 ) − C2 v2 |v2 |,
где t — время, x1 — смещение от положения равновесия первого ма-
ятника, x2 — смещение от положения равновесия второго маятника,
ω1 — частота собственных колебаний первого маятника, ω2 — частота
собственных колебаний второго маятника, α — жесткость пружины
связывающей маятники, C1 , C2 — постоянные, характеризующие со-
противление среды для первого и второго маятников соответственно.
    Введением новых неизвестных v1 = x′1 , v2 = x′2 уравнения сводят-
ся к 4-м уравнениям 1-го порядка.
                                  Задание.
1. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                y ′ = f (t, y),    y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                k1 = f (tn , yn ),
                k2 = f (tn + h/3, yn + h/3k1 ),
                k3 = f (tn + 2/3h, yn − h/3k1 + hk2 ),
                k4 = f (tn + h, yn + hk1 − hk2 + hk3 ),
                yn+1 = yn + h(k1 + 3k2 + 3k3 + k4 )/8.
2. Тестировать программу на примере системы уравнений
                   y1′ = y2 ,     y2′ = 2y12 (1 − 4t2 y1 ),

Страницы