Практикум по методам решения задачи Коши для систем ОДУ. Даутов P.З. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задача о полете снаряда. 79
Подставляя теперь эти производные в уравнения (1) и разрешая по-
лученные соотношения относительно v
′
и θ
′
получим
v
′
= −CρSv
2
/(2m) − g sin(θ),
θ
′
= −g cos(θ)/v.
(4)
Уравнения (3), (4), вместе с начальными условиями (2), полностью
описывают траекторию полета снаряда.
Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
снаряд сил.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
y
′
= f(t, y), y(0) = y
0
, y(t) ∈ R
n
,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
k
1
= f(t
n
, y
n
),
k
2
= f(t
n
+ h/3, y
n
+ h/3k
1
),
k
3
= f(t
n
+ 2/3h, y
n
− h/3k
1
+ hk
2
),
k
4
= f(t
n
+ h, y
n
+ hk
1
− hk
2
+ hk
3
),
y
n+1
= y
n
+ h(k
1
+ 3k
2
+ 3k
3
+ k
4
)/8.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
y
′
1
= y
2
, y
′
2
= 2y
2
1
(1 − 4t
2
y
1
),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
y
1
= 1/(1 + t
2
), y
2
= −2t/(1 + t
2
)
2
.
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h
4
от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета снаряда при следующих ис-
ходных данных:
m = 45 кг., C = 0.25, ρ = 1.29 кг./м
3
,
S = 0.35 м
2
, g = 9.81, v
0
= 60 м/сек.
Задача о полете снаряда.                                          79


Подставляя теперь эти производные в уравнения (1) и разрешая по-
лученные соотношения относительно v ′ и θ′ получим
                     v ′ = −CρSv 2 /(2m) − g sin(θ),
                                                                 (4)
                     θ′ = −g cos(θ)/v.
Уравнения (3), (4), вместе с начальными условиями (2), полностью
описывают траекторию полета снаряда.
                                    Задание
1. Проверить правильность вывода исходной системы уравнений.
Приведите соответствующий рисунок с указанием действующих на
снаряд сил.
2. Составить программу интегрирования задачи Коши для системы
из n уравнений первого порядка вида
                  y ′ = f (t, y),    y(0) = y0 , y(t) ∈ Rn ,
на произвольном отрезке [a, b], используя метод Рунге-Кутта 4-го по-
рядка точности с постоянным шагом h:
                  k1 = f (tn , yn ),
                  k2 = f (tn + h/3, yn + h/3k1 ),
                  k3 = f (tn + 2/3h, yn − h/3k1 + hk2 ),
                  k4 = f (tn + h, yn + hk1 − hk2 + hk3 ),
                  yn+1 = yn + h(k1 + 3k2 + 3k3 + k4 )/8.
3. Тестировать программу на примере системы уравнений
                      y1′ = y2 ,    y2′ = 2y12 (1 − 4t2 y1 ),
на отрезке [0, 5] с точным решением (проверьте!)
                  y1 = 1/(1 + t2 ),      y2 = −2t/(1 + t2 )2 .
4. Для тестовой задачи построить графики зависимости максималь-
ной погрешности решения e и e/h4 от выбранного шага h. Какие вы-
воды можно сделать из полученных графиков?
5. Решить систему уравнений (3), (4) при помощи разработанной про-
граммы. Рассчитать траектории полета снаряда при следующих ис-
ходных данных:
                m = 45 кг., C = 0.25, ρ = 1.29 кг./м3 ,
                S = 0.35 м2 , g = 9.81, v0 = 60 м/сек.

Страницы